１７．割り切る、7で

　小学生の時に読んだ本で、ある自然数が3や4で割り切れるかを判定する方法を知った。ところが、7で割り切れるかどうかの判定法は書いてなかった。実際に割り算をしてみるより仕様がない。

　大人（多分ハタチ頃）になってから、7で割れるかどうかの判定法があることを知った。ちょっとややこしいので、小学生向けの本には紹介してなかったのだろう。

　と思う。

　じゃぁ、どうやったらわかるか。N = a_na_n－1・・・a₁a₀ という数があったとする。つまり、

　　　　N = a_n×10ⁿ ＋a_n－1×10^n－1 ＋・・・＋a₁×10¹ ＋a₀

ということ。このとき、数 N の1の位の数を取っ払ってa_na_n－1・・・a₁ という数を作る。つまり

　　　　a_n×10^n－1 ＋a_n－1×10^n－2 ＋・・・＋a₁

という数をこしらえたということ。ちょっとわかりにくい。例えば、86415という数があったとしたら、1の位の５を取っ払って、8641という数を作るということ。さらに、新しく作った数から、取っ払った1の位の数a₀ の2倍を引く。つまり、

　　　　N' = ( a_n×10^n－1 ＋a_n－1×10^n－2 ＋・・・＋a₁ ) －2×a₀

を作る。うー_む 、わかりにくい。86415という数だったら、1の位の5を取っ払って8641 にしたけど、さらに取っ払った5の2倍の10を、この8641から引け、ということ。N’ = 8641－5×2＝8631。この数が7で割り切れれば、元の数 N も7で割り切れる。新しく作った N' がまだ大きくて7で割れるかどうかわからなかったら、 N' を N と思い直して、同じ操作、末尾の1の位の数を取っ払ってから、取っ払った1の位の数の2倍を引く。86415だったら1の位の5を取っ払って8641にして、取っ払った5の2倍の10を引いて8641－10 =8631になっているが、さらにこの8631を新しい数Nだと思って、この数8631の1の位の1を取っ払って863にしてから、取っ払った1の2倍、2を引いて、863－2＝861。これが7で割れるか見る。まだ、でかい？　じゃぁ、同じことを繰り返す。1の位の1を取っ払って86。これから取っ払った1の2倍の2を引いて、86－2=84。もう一回。1の位の4を取っ払って8。取っ払った4の2倍の8を引いて、8－8=0。0は7で割り切れる。ということは、もとの数86415は7で割り切れるということ。こうやって、7で割れるかを判定できる。もう一回、別の数でやってみよう。N = 16464 としてやってみる。1の位を取っ払うと、1646ができる。取っ払った1の位の4の2倍を引き算すると、1646 － 4×2 = 1638 。まだ大きいからもう一回やってみる。1638 の1の位を取っ払うと、163。取っ払った8の2倍を引き算すると、163 － 8×2 = 147。この数は7で割り切れることは見たらわかるけど、念のためもう一回やってみよう。14 － 7×2 = 0。0は7で割り切れるから、16464も7で割り切れる(16464÷7＝2352）。

　ちょっと種明かし。元の数 N から1の位の数を引くと

　　　　N － a₀ = a_n×10ⁿ ＋a_n－1×10^n－1 ＋・・・＋a₁×10¹ ＋a₀ － a₀

　　　　　　　　= a_n×10ⁿ ＋a_n－1×10^n－1 ＋・・・＋a₁×10¹

1の位の数を取っ払った数、といったが、正確には N － a₀はa_na_n－1・・・a₁0という数字の並びになっているから、さらに10で割るということ。

　　　　( N － a_{0 )} / 10  = a_n×10^n－1 ＋a_n－1×10^n－2 ＋・・・＋a₁

この数から、取っ払った1の位の数a₀ の2倍を引くので

　　　　　( N － a_{0 )} / 10  － 2×a₀= 　( N － a₀ －20 ×a₀)  / 10  

となる。引く2×a₀を10倍して10で割って、括弧でくくった。これが新しく作った N' という数だ。つまり、

　　　　　N ' = 　( N － a₀ －20 ×a₀)  / 10  

= 　( N －21 ×a₀)  / 10  

新しい N ' に10を掛けたものは、元の数 N からa₀の21倍を引いている。21は7で割り切れるから、元の数　N が7で割り切れるなら、N －21 ×a₀も7で割り切れるというわけだ。ついでにN －21 ×a₀という数は、その作り方からして10で割れることはわかるので、先に10で割っておいて、新しい数を　N ' としておけばよい。N ' は元の数より一ケタ小さくなっている。あとは、この操作をどんどん繰り返していけば良い。7で割り切れれば元の数も7で割り切れるし、7で割り切れなかったら、元の数 N が7で割り切れなかったからだ。

　小学生の時には、この方法が書いてなかった。ちょっと難しいので、書いてなかったのだと思う。しかし、子供の頃は何でも吸収して覚えていた。いい歳してから知った知識はなかなか定着しない。それで、「備忘録」に7で割り切れる判定法を書いて置くことにした。