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18.掛け算。証明に触れた、夏。

 割り算の次は、掛け算の話題。小学生の楽しい読書で、こんなことが書いてあった。小学校の木造校舎の2階の図書室はワンダーランドだった。手にした本ごとに知識が詰まっていた。わくわくした

 1の位が5で、10の位が同じ数同士の掛け算。15×15、25×25、35×35、45×45、55×55、65×65、75×75、85×85、95×95のこと。簡単にできると書いてある。10の位の数に1足した数と、元の数を掛ける。○△となったとする。そうすると、答えは、○△25という数になる。たとえば、

 

    25×25

 

だと、10の位の数に1を足して、元の数を掛ける。10 の位の数、2に1を足すと、2足す1は3だから、3。これに、もとの10の位の数、2を掛ける。3×2は6。この「6」に25をくっつけて

 

    625

 

これが、25×25の答え。

 

 もうちょっと確かめてみよう。75×75 はどうだろうか。7に1足して8だから、元の7を掛けて、はちしち56。だから、

 

    5625

 

が答え。85×85でも同じだ。8足す1は9だから、ハック72。答えは

 

    7225。

 

 全部確かめても9個なのでやってみたら良い。やってみた。すべて正しい。

 

 中学になると「証明」というものが存在することを知った。10の位の数を a とすると、考えている数はa × 10 + 5 と書ける(10a+5)。だから、考えている掛け算は

 

    ( a × 10 + 5 ) × ( a × 10 + 5 )

 

だ。掛け算と足し算は ( x + y )× (u + v ) = x×u + x×v + y×u + y×v という、いわゆる分配則なるものが成り立つので、xと u をa×10、y と v を 5 だと思えば、

 

      ( a × 10 + 5 ) × ( a × 10 + 5 )

     = (a×10)×(a×10) + (a×10)×5 + 5×(a×10) + 5×5

 

2行目の真ん中2つは同じだから、5+5=10で、(a×10)×5 + 5×(a×10) = (a×10)×10。

だから、

 

 

      ( a × 10 + 5 ) × ( a × 10 + 5 )

     = (a×10)×(a×10) + (a×10)×5 + 5×(a×10) + 5×5

     =(a×10)×(a×10) + (a×10)×10 + 25

     =a×a×100 + a×100 + 25

     =a×(a+1)×100 +25

 

となる。できた。10の位の数aに1足した(a+1)と元の数 a を掛けて100の位において、あと25を足している。これで、a が1から9までどれでも良いことが言えた。

 

 「証明」という概念に触れた13歳、夏であった。