103.数字の並びから法則へ

 原子から放出される光は、特定の波長を持っている。たとえばナトリウムならおおよそ 589 nm(ナノメートル)で、橙黄色、高速道路のトンネルなんかに使われている、いわゆるナトリウムランプだ。ネオンだと、いくつかの波長が混ざっているが、だいたい赤橙色。ネオンサインだ。

 

 もっとも単純な水素原子からも特定の波長の光のみが放出される。波長だとメートル単位では小さい数になるので、波長分の1、波数(を 2π で割った値)で書いておこう。

 

  赤 :1523310  [1/m]    (波長:656.5 nm)

  青緑:2056410  [1/m]     (波長:486.3 nm)

  青 :2303240  [1/m]     (波長:434.2 nm)

  藍 :2437290  [1/m]    (波長:410.3 nm)

  紫 :2518130  [1/m]     (波長:397.1 nm)

 

最新の測定値とはちょっと違っているかもしれないが、良しとしよう。

 

 この数字の羅列から、何か言えるだろうか?

 

 とりあえず、青緑と赤の波数(波長の逆数)の比を取ってみよう。有効数字 7 桁とする。

 

    (青緑)/ (赤) = 2056410 / 1523310 = 1.349962

 

観測データに誤差もあるだろうから、まぁ、1.350 としておこう。そうすると

 

    1.35 = 135 / 100 = 27 / 20    ・・・(1)

 

と綺麗な整数比で表せる。

 この調子で、赤を基準に比を取ってみよう。次に、青と赤。

 

    (青)/ (赤) = 2303240 / 1523310 = 1.511997

 

まぁ、1.512 だ。そうすると

 

    1.512 = 1512 / 1000 = 189 / 125    ・・・(2)

 

次は、藍と赤。

 

    (藍)/ (赤) = 2437290  / 1523310 = 1.599996

 

1.600 だ。そうすると

 

    1.6 = 16 / 10 = 8 / 5   …(3)

 

最後は、紫と赤。

 

    (紫)/ (赤) = 2518130  / 1523310 = 1.653065

 

おや、あまりきれいな整数比になりそうにない。そこで、“連分数表示”に似せて、考える。まず、2518130  / 1523310 = 251813  / 152331 であり、これより大きい最小の整数(今の場合は 1.653065 より大きい最小の整数は 2 )を用いて

 

    251813  / 152331 = 2-52849 / 152331    ・・・(A)

 

とする。こうして

 

    251813  / 152331 = 2-1 / (152331 / 52849)

 

なので、(A)で出てきたお釣りの分数の逆数を考えて、同じ操作をする。つまり

 

    152331 / 52849 = 3-6216 / 52849    ・・・(B)

 

こうして、

 

    251813  / 152331 = 2-1 / ( 3-6216 / 52849 )

             = 2-1 / ( 3-1 / ( 52849 / 6216 ))

 

なので、(B)のお釣りの分数の逆数を同じ手順で

 

    52849 / 6216 = 9-3095 / 6216

 

とする。したがって、最初の(紫)/(赤)の分数は

 

    251813  / 152331 = 2-1 / ( 3-6216 / 52849 )

             = 2-1 / ( 3-1 / ( 52849 / 6216 ))

             = 2-1 / ( 3-1 / ( 9-3095 / 6216 ))   ・・・(C)

 

と書ける。続けても良いが、水素原子から測定した光の波数(波長)の観測値は誤差を含んでいるだろうから、最後に現れた分数

   

    3095 / 6216 = 0.497909 ≒ 0.5 = 1 / 2

 

と、綺麗な 1 / 2 にしておこう。そうすると、(紫)/(赤)の(C)式は

   

    251813  / 152331 = 2-1 / ( 3-1 / (9-1 / 2 ))

             = 2-1 / ( 3-2 / 17 )

             =2-17 / 49

             = 81 / 49

 

と、比較的綺麗な整数比になる。

 

 さて、得られたものを纏めておこう。

 

   (青緑)/ (赤) = 27 / 20

    (青)/ (赤) = 189 / 125

    (藍)/ (赤) = 8 / 5

    (紫)/ (赤) = 81 / 49

 

分母を並べると

 

    20,  125,  5,   49

 

だ。最初の 3 つは 5 で割り切れるので、割ってから並べると

 

    4,   25,   1,   49

 

となる。すべて平方数(4 = 22 , 25 = 52 , 1 = 12 , 49 = 72 ) だ。2 番目が 5 の 2 乗、4 番目が 7 の 2 乗なのに、3 番目は 6 の 2 乗ではない。1 番目もこの推測からは 4 の2 乗であったらよいのにそうなっていない。

 計算では分数を扱ったので、どこかで約分してしまったのかもしれない。もともと、赤の波数 1523310 [1/m] を使って割り算していたので、たまたま青緑と藍の時は約分されてしまったのかもしれない。そこで、3 番目で失われていた 6 の 2 乗、36 を復活させるために 36 を掛けて 36 で割るという操作をして、赤の波数を表してみよう。

 

    1523310 [1/m] = 10967832  ×( 5 / 36 ) 

 

そうして、赤の波数 1523310 を基準にするのではなく、上で出てきた 5 / 36 を除いた数値、10967832 を基準に比を取ったと思おう。すると

 

  (赤)/ (10967832) = 1523310 / 10967832 =( 10967832 × ( 5 / 36 )) / 10967832 

  (青緑)/ (赤) = 27 / 20  =(青緑)/ ( 10967832 × ( 5 / 36 ))

  (青)/ (赤) = 189 / 125 = (青)/ ( 10967832 × ( 5 / 36 ))

  (藍)/ (赤) = 8 / 5 = (藍)/ ( 10967832 × ( 5 / 36 ))

  (紫)/ (赤) = 81 / 49 = (紫)/ ( 10967832 × ( 5 / 36 ))

 

すなわち

    (赤)/ (10967832) = 5 / 36

    (青緑)/ (10967832) = 27 / 20 × ( 5 / 36 ) =3 / 16 = 12 / 64

    (青)/ (10967832) = 189 / 125 × ( 5 / 36 ) = 21 / 100

    (藍)/ (10967832) = 8 / 5 × ( 5 / 36 ) = 2 / 9 =32 / 144

    (紫)/ (10967832) = 81 / 49 × ( 5 / 36 ) = 45 / 196

 

となる。青緑の結果には最後に分母分子 4 を掛け、藍の結果には 16 を掛けて、分母が平方数になるようにした。分母は赤から順に、36 = 62 、64 = 82 、100 = 102 、144 = 122 、196 = 142 だ。6 から始まり、偶数の 2 乗が出ている。しかも赤から順に分母を書くと

 

    36 = 62 = 9 × 4 = 3× 22

    64 = 82 = 16 × 4 = 4× 22

    100 = 102 = 25 × 4 = 5× 22

    144 = 122 = 36 × 4 = 6× 22

    196 = 142 = 49 × 4 =7× 22

 

のように、4 でくくると、3、4、5、6、7 それぞれの 2 乗がきれいに現れる。

 

 では分子は規則性があるだろうか? 赤から順に、

 

    5 =  9-4 = 32 - 22

    12 = 16-4 = 42 - 22

    21 = 25-4 = 52 - 22

    32 = 36-4 = 62 - 22

    45 = 49-4 = 72 - 22

 

となっているではないか。3 から順に 2 乗から 4、すなわち 2 の 2 乗を引いた数になっている。分母にも 4 が出てきていた。

 

 ここで、いつも 10967832 が出てくるので、これを R と書くことにしよう。

 

    R = 10967832  [m-1]

 

こうしておくと、水素原子から放出される光の波数(波長 λ の逆数)は

 

    (赤の波数)  = 1 / λ  = R× ( 32 - 22 ) / ( 32×22 )

    (青緑の波数)= 1 / λ青緑 = R× ( 42 - 22 ) /  ( 42×22 )  

    (青の波数)  = 1 / λ  = R× ( 52 - 22 ) /  ( 52×22 )

    (藍の波数)  = 1 / λ  = R× ( 62 - 22 ) /  ( 62×22 )

    (紫の波数)  = 1 / λ  = R× ( 72 - 22 ) /  ( 72×22 )    ・・・(4)

 

見事な規則性が見えたではないか。

 

 以上の素晴らしい洞察は、1885 年、スイスで中学校の教師をしていたバルマーが為したことである。バルマーは波数ではなく波長そのものを扱っていたようで、彼が得た式は、

 

    λ = h m2 / ( m2 - n2 ) 、 ここで、n = 2、m = 3, 4, 5, 6, 7   ・・・(5)

 

である。h = 4 / R とすれば、先に得た式と同じだ。

 

 のちに、リュードベリは、(5)をひっくり返した(4)式を一般化して

 

    1 / λ = RH ( 1 / n2 -1 / m2 )  、ただし n < m、n, m は自然数

を得た。n = 2 の場合がバルマーが見出した規則だ。RH はリュードベリ定数と呼ばれ、(4)の R のことだが、現在の測定では

 

    RH = 10973731.568160 [m-1 ]

 

という値が得られている。

 

 一度でいいから、バルマーのような仕事をしてみたいものだ。