３０．ベクトルの外積（ベクトル積）と四元数

　物理の授業をすると、必ずベクトルの解説をしなければならない。高等学校までは２次元平面のベクトルは習うが、３次元空間内のベクトルは習わない。次元が一つだけ増えるだけなのではあるが、高等学校で習わない、「ベクトルの外積」が登場する。

　高等学校では２次元のベクトル

　　　a = ( a_x , a_y ) 、　　　b = ( b_x , b_y )

に対して、「内積（スカラー積）」

　　　a・b = a_x b_x + a_y b_y

が定義されて、習う。それぞれの成分同士を掛け合わせてから、足す。３次元への拡張は簡単で、ベクトルの成分が３つになるので、

　　　a = ( a_x , a_y , a_z ) 、　　　b = ( b_x , b_y , b_z) ・・・（１）

に対して、「内積（スカラー積）」

　　　a・b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z・・・（２）

とすればよい。ところが、３次元空間では、２つのベクトルからまたベクトルを作る演算が定義できて、これを「ベクトル積」という。定義は次の通り。

　　　a×b = ( a_yb_z－a_z b_y , a_zb_x－a_x b_z , a_xb_y － a_y b_x )　・・・（３）

x、y、zの３成分のベクトル２つからまた３成分のベクトルa×b を作る。３次元になって初めて出てくる演算だ。

　学生さんに話をすると必ず出てくる感想は、「初めて見た」「高校まででは習わなかった」。それはそうだ。高校では３次元のベクトルはやらないから。ときどき「高校でなぜ教わらないのか」という質問が来るが、３次元のベクトルはやらないから。「２次元で教えてほしい」と言われても、あからさまに定義できない。なんでだろう？

　ベクトル自身は成分を増やしていけば、４次元でも５次元でも考えられる。でも、ベクトルの外積は、３次元と７次元でないと導入できない。なんでだろう？

　数学では、普通の１変数の「数」、実数と虚数の２変数を組み合わせた「複素数」の他に、ハミルトンの四元数というものが定義できる。４元数で数として演算が閉じる。次に定義できるのは八元数。「四」元数が定義できるので、一つ少ない数の次元、３次元でベクトル積が導入できる。「八」元数が定義できるので、一つ少ない数の次元、７次元でベクトル積は定義できる。

　良くわからないから、大学の同僚の数学コースの F 先生に聞きに行く。こういうとき、大学勤めは便利である。なんせ、どの先生に質問して解説してもらっても、タダである。

　なぜ定義できるのか、説明してもらったが、なお、六（むつ）かしい（寺田寅彦風表記）。

　それはさておき、四元数を考えよう。複素数は、虚数単位 i = √(－1)を考える。２乗したらマイナス1になる数が i 。どこかで、ある数学者は i を沢山印刷した風呂敷を持っていたと読んだことがある。「 i (愛）はすべてを包む」という洒落らしい。そんなことはどうでもよい。複素数は、虚数単位を使って

　　　　z = a + b i

とかける。２つの複素数 z_a = a₀ + a₁ i 、z_b = b₀ + b₁ iの掛け算は

　　　　z_a z_b = ( a₀ + a₁ i )×( b₀ + b₁ i )

　　　　　　= a₀ b₀ －a₁ b₁+ (a₀ b₁ + a₁ b₀ ) i

となる。ここで、a₀ = b₀ = 0 ととると、

　　　　z_a z_b= －a₁ b₁

となり、２つの「１次元ベクトル」a =(a₁ )、b =(b₁ )　の積が出る。マイナス符号を除いて、内積と言ってもいいし、外積と言ってもいい。なんせ、ベクトルを定義するときに重要な、回転を被る「向き」がないから、何と言ってもよろしい。「１次元ベクトル」はあまりにも自明だ。でもまぁ、２変数から成る「複素数」が数として定義できるので、１次元ベクトルの外積は定義できると思っておこう。あまりにも自明だけれど。

　次は四元数。２乗したらマイナス1になる３つの数、i、j、k を用意する。

　　　　i² = j² = k² = －1　・・・（４）

i、j、k には次のような掛け算の関係がある。

　　　　i j = －j i = k 、   j k = －k j = i 、   k i = －i k = j　　　・・・（５）

２つの四元数を

　　　　h_a = a₀ + a_x i + a_y j + a_z k 、　　　h_b = b₀ + b_x i + b_y j + b_z k

面倒なので、最初から、a₀ = b₀ =0 としておこう。こうして、２つの四元数の積を計算して見る。（４）と（５）の関係に注意すると

　　　h_a × h_b = ( a_x i + a_y j + a_z k )×( b_x i + b_y j + b_z k )

　　　　　　　= －( a_x b_x + a_ｙb_y + a_z b_z )

　　　　　　　　+ ( a_y b_z － a_z b_y ) i + ( a_z b_x － a_x b_z ) j + ( a_x b_y － a_y b_x ) k

となる。なんと、第１項はマイナス符号を除いて２つの３次元ベクトル（１）の内積（２）が現れている。第２、３、４項は外積（３）の x 成分、y 成分、z 成分だ。

　こんなことを授業で話していたら、ハタと思い当った。自分が学生のころ、３次元空間座標で、x 方向の単位ベクトル（大きさ１のベクトル）を i 、y 方向の単位ベクトル）を j 、z 方向の単位ベクトルをｋと書く流儀があった。ひょっとすると、ハミルトンの四元数の名残なのかもしれないと急に思い当った。

　ベクトルの内積と外積を初めて定義したのは、グラスマンで、1844年のことだそうだ。ハミルトンが四元数を導入したのは1843年。