74.ひらめきと直感

 薬学・脳科学研究者の池谷裕二さんの著書を読んでいたら、「ひらめき」と「直感」が区別されていた。『「ひらめき」は思いついた後に、その答えの理由を言語化でき』るということで、一方、『「直感」は、本人にも理由がわからない確信を指』すとある。なるほどなぁ、と思って読む。ひらめきで解く問題の例として、

 

     1 2 4 ▢ 16 32

 

とあった時に、▢に入る数字は?というものが挙げられていた。もちろん、左の数字に順に2をかけていくという「答えの理由」が「言語化できる」ので、おそらく8だ。ひらめいた。

 

 ここで終わるとそれまでなので、こんな問題があったのを思い出したので記しておこう。

 

     1 2 4 8 16 ▢ 。さて、▢に入る数字は? 

 

まぁ、ひらめいて、32だろうと思うのが義理だ。いや、人情だ。

    

 ここで終わるとそれまでなので、円を考え、円周上に点を打っていくことを考えてみる。まずは点を2つ打ってみよう。その点を直線で結ぶと、円が2つの領域に分けられる。下の図の左上だ。次いで、もう一点打つ。そして各点を直線で結ぶと、円が4つの領域に分けられる。図の上中だ。さらにもう一点打つ。各点を直線で繋ぐと、円が8つの領域に分けられる。図の右上だ。また点を打つ。ただし、今度も各点間を直線で結ぶが、結んだ3つの直線が一点で交わらないように、新しい点を円周上にとることにする。そうすると、円は16個の領域に分けられる。図の左下だ。また、各点を結ぶ直線3本が一点で交わらないようなところの円周上に点を取る。1、2、4、8、16と来たんだから、次は32個の領域に分けられると思うのが人情だ。いや、義理か。

 

 しかし。

 

 円は32個の領域ではなく、31個の領域に分割される。こうして、先ほどの問題、『▢に入る数字は?』の答えは‘‘31’’となる。

 

    f:id:uchu_kenbutsu:20180318091555j:plain

 

 3本の直線が1点で交わらないように円周上にn 個の点を打った時に分割された円の領域は

 

   (n4 - 6 n3 + 23 n2 -18 n + 24) / 24

 

となるそうだ。証明は見たことないので、数学科の先生にでも聞いてみよう。自分も「数学物理学科」の一員なのではあるが・・・。代入してみると確かに n=2 で2、n=3 で4、n=4 で8、n=5 で16、n=6 で31、n=7 で57になる。

 

 

 ちなみに、今度は2次元平面で、1本ずつ直線を引いて面を分割してみよう。

 

 特に理由は無い。

 

 0本の直線では、何もしていないので分割も何もなく、もとの図形が1つ。1本の直線では2つに分割できる。2本では4つ、直線が1点で交わらないようにして3本の直線をひくと、7つに分割できる。1、2、4、7、11と分割されていく。下の左の図。

 

 f:id:uchu_kenbutsu:20180318091603j:plain

 

 

 ついでに、1次元の棒も分割しよう。

 

 少し理由がある。

 

 0本では1、1本では2、2本では3、3本では4つに分割できる。当たり前だ。

 ここで、表を作る。棒の分割を(A),面の分割を(B)としておく。

 

分割する線の数

右図の棒の分割(A)

左図の面の分割(B)

0本

1本

2本

3本

4本

11

5本

16

 

こうすると、

 (A)の0本の時の分割数 +(B)の0本の時の分割数 =(B)の1本の時の分割数

つまり、

    1+1=2

となっている。以下同様に、

 (A)の1本の時の分割数 +(B)の1本の時の分割数 =(B)の2本の時の分割数

    2+2=4

 (A)の2本の時の分割数 +(B)の2本の時の分割数 =(B)の3本の時の分割数

    3+4=7

 (A)の3本の時の分割数 +(B)の3本の時の分割数 =(B)の4本の時の分割数

    4+7=11 

 (A)の4本の時の分割数 +(B)の4本の時の分割数 =(B)の5本の時の分割数

    5+11=16

 

となることがわかる。(B)の分割の一般式は、n 本の直線を使ったときにできる分割の最大数として

  1 + n(n+1) / 2

が得られる。2項係数を使うと、 

  C0  + C1C2

と書ける。もちろん(A)のときは

  n + 1

2項係数を使うと

   C + C1

だ。だから、

(A)のn本の時の分割数 +(B)のn本の時の分割数 =(B)の(n+1)本の時の分割数

    ( n + 1 ) + (1 + n(n+1)/2 ) = 1 + (n+1)(n+2) / 2

となる。

 

 今度は、立体を切っていく。3次元の立体を、2次元の平面で分割するということだ。さっきの表に、分割される最大数を載せておこう。

 

分割する線(本)、面(枚)の数

直線による面の分割(B)

平面による立体の分割(C)

11

15

16

26

 

今度もやっぱり、次元を一つ落とした側、直線による 2 次元面の分割を使って 

 (B)の0本の時の分割数 +(C)の0枚の時の分割数 =(C)の1枚の時の分割数

    1+1=2

 (B)の1本の時の分割数 +(C)の1枚の時の分割数 =(C)の2枚の時の分割数

    2+2=4

 (B)の2本の時の分割数 +(C)の2枚の時の分割数 =(C)の3枚の時の分割数

    4+4=8

 (B)の3本の時の分割数 +(C)の3枚の時の分割数 =(C)の4枚の時の分割数

    7+8=15

 (B)の4本の時の分割数 +(C)の4枚の時の分割数 =(C)の5枚の時の分割数

    11+15=26

となっていて、棒と面の時の関係と同じだ。ここで、(C) の一般式は

  ( n3 + 5n + 6) / 6

となる。2項係数を知っていると、

  C0 + C1C2 + C3

になる。こうして、

 (B)のn本の時の分割数 +(C)のn枚の時の分割数 =(C)の(n+1)枚の時の分割数

    (1 + n(n+1)/2 )+ ( n3 + 5n + 6) / 6  =  ( (n+1)3 + 5(n+1) + 6) / 6

となる。

 

 まぁ、2項係数の和の公式を使うのがいいんだろうなぁ。そんなの覚えてないけど。2項係数で示してしまったら代数的に話は終わるのだが、1次元の棒の分割が2次元平面の分割に顔を出し、2次元平面の分割が3次元立体の分割に顔を出すのはなぜなのだろう。異なる次元での分割を幾何学的に示せるのかなぁ。

 

 また、数学科の先生を捕まえるか。