８８．平方数の和

　第30回で四元数に触れた。少し復習しておこう。

　まずは、普通の数。a と b という二つの数があったとしよう。数字 a の“大きさ”を絶対値と言って、|a| と書くと、

　　　　|a| |b| = | ab|

になるのは、ほぼ当たり前だ。

　次に複素数。2 乗したら－1に なる“虚数単位” i = √(－1) を使って、

　　　　u = a + i b、　v = c + i d

のような u、v といった数。二つの複素数の積は i² = －1 に注意して、

　　　　uv = (a + i b )×( c + i d ) = ac－bd + i ( ad + bc )　　　・・・（１）

となる。また、“複素平面”というものを使ってグラフ化しておこう。u の実数部 a を横軸に、虚数部 b を縦軸にして座標風に描くと

　　　　　　　　　　

といった感じ。x 軸は複素数の“実部”、y 軸は複素数の“虚部”になっている。複素数 uの“大きさ”は図の r になっていて、

　　　　r = √(a² + b² )

になる。面倒なので、大きさの 2 乗を考えると、a² + b² だ。2 つの複素数 u と v の大きさの積は ( a² + b² ) × ( c² + d² ) だが、簡単な式変形で、

　　　　( a² + b² ) × ( c² + d² ) = ( ac－bd )² + (ad + bc )²

になる。右辺をよく見ると（１）式の右辺の実数部の 2 乗と虚数部の 2 乗の和になっているので、これは複素数 uv の大きさの 2 乗だ。こうして複素数 u の大きさを |u| の様に書くと

　　　　|u|²  |v|² = |uv|²

になっていることがわかる。

　さて、四元数。2 乗したらマイナス 1 になる 3 つの数、i、j、k を用意する。

　　　　i² = j² = k² = －1　・・・（２）

i、j、k には次のような掛け算の関係がある。

　　　　i j = －j i = k 、    j k = －k j = i 、   k i = －i k =  j　　　・・・（３）

2つの四元数を

 　　u = a + i b +j c + k d 、　　　v = x +i y + j z + k w

と書くと、2 つの四元数の積は、（２）（３）に注意して

　　　　uv= ( ax－by－cz－dw ) + i ( bx + ay－dz + cw )

　　　　　　+ j ( cx +dy +az－bw ) + k (dx－cy +bz + aw)　・・・（４）

となる。四元数の“大きさ”の 2 乗は、予想通り

　　　　|u|² = a² + b² + c² + d²

である。ここで、複素数の時と同様に、

　　　　( a² + b² + c² + d² ) × ( x² + y² + z² + w² )

　　　=  ( ax－by－cz－dw )² + ( bx + ay－dz + cw )² + ( cx +dy +az－bw )²

　　　　+ (dx－cy +bz + aw)²　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（５）

という恒等式が示せる。右辺をよく見ると、（４）の右辺の各項の 2 乗の和なので、四元数の積 uv の大きさの 2 乗になっていることがわかる。こうして、上の式（５）は、

　　　　|u|² |v|² = |uv|²

と書ける。

　ところで。

（５）式が教えてくれることは、ある２つの数がそれぞれ 4 つの数字の 2 乗の和で書けたとする( a² + b² + c² + d² と x² + y² + z² + w² )と、その積もまた、4 つの数字の 2 乗の和で書ける（ ( ax－by－cz－dw )² + ( bx + ay－dz + cw )² + ( cx +dy +az－bw )² + (dx－cy +bz + aw)²）ということだ。ということで、すべての素数が、0 を含む 4 つの自然数の 2 乗の和で書ければ、

　　　　『すべての自然数は高々 4 つの自然数の 2 乗の和で書ける』

ということになる。すべての自然数は素因数分解できるので、素数が 4 つの数の 2 乗和で書ければ、その積も 4 つの  2乗和で書けるので、結局、すべての数は高々 4 つの自然数の 2 乗の和で書けるということだ。

　実際、

　　　　『すべての素数は高々 4 つの自然数の 2 乗の和で書ける』

ことが証明できる（証明は略）。

　たとえば、

　　　　2 = 1² + 1² ( + 0² + 0² )

　　　　11 = 3² + 1² + 1² (+ 0² )

　　　　23 = 3² + 3² + 2² + 1²

などなど。こうして、すべての自然数は 4 つの自然数の 2 乗の和で書けることになる。

　では、すべての自然数は、3 つの自然数の 2 乗の和で書けるだろうか？

　それは、無理ということだ。

　ある自然数が 3 つの自然数の 2 乗の和で書けるための条件は、

　　　『ある自然数が 2 つの整数 a、b を用いて4^a ( 8b + 7 ) という形に書けないとき

　　　　に限り、高々 3 つの自然数の 2 乗の和で書ける』

だそうだ（証明は略）。例えば

　　　　244 = 6² + 8² +12²

しかし、240 は 240 = 4² ( 8×1 + 7 ) という形に書けてしまうので、上の定理からいくら頑張っても 3 つの自然数の 2 乗の和で書けない。

 では、2 つの自然数の 2 乗の和で書ける数は、どんな条件があるのだろうか？

　　　『自然数を素因数分解したときに、4 の倍数＋3 の素数が現れた時にはその素

　　　　数がすべて偶数乗されているときに限り、2 つの自然数の 2 乗の和で書ける』

たとえば、221=13×17 となるが、素因数はともに “4の倍数+ 1” あって、“4の倍数 + 3” は現れていないので、2 つの自然数の和で書けるはずだ。実際、221 = 5² + 14² 。では、245 は？　245 = 5×7² と素因数分解できる。素数 7 は “4の倍数 + 3”、7 = 4×1 +3 と書けるが、2 乗（7² ) のかたちで現れているので、構わない。2 乗はすなわち偶数乗だ。だから 245 は 2 つの自然数の 2 乗の和で書ける。実際、245 = 7² + 14² 。では、275 では？ 275 = 5² ×11。11 は “4の倍数 + 3”、11 = 4×2 + 3。これが 1 乗、奇数乗で入っているので、上の条件から、2 つの自然数の 2 乗の和では書けないはずだ。

　ちなみに。

　次のような 3 つの素数の 2 乗の和を考えよう。

　　　　7² + 11² + 43²

　　　　7² + 17² + 41²

　　　　13² + 13² + 41²

　　　　11² + 23² + 37²

　　　　17² + 19² + 37²

　　　　23² + 23² + 31²

　全部 2019 になる。2019 は 3 つの素数の 2 乗の和で、6 通りの書き方がある。

　今年は西暦で 2019 年。

　2019 の各数字を足すと、2 + 0 + 1 + 9 = 12 になり、これは 3 の倍数なので、2019は3 で割り切れることがわかる（第16回）。こうして 2019=3×673 と素因数分解できる。673は 大きい数だが素数だ。2019 の素因数分解で現れる 3 は “4の倍数+3”、3 = 4×0 + 3であり、これが一つ、奇数乗として入っているので、2019 は 2 つの自然数の 2 乗の和では書けないことがわかる。

　2019 は4^a ( 8b + 7 ) の形には書けない。奇数だから 4^a が有ってはいけないので、a=0でなければならない。2019 の素因数分解を見ると 3 も 673 も ( 8b + 7 ) の形には書けない。673－7 が 8 の倍数でないので。というわけで、2019 は 3 つの自然数の 2 乗の和で書けるというわけだ。

　2019 は素数だけの 2 乗和で 6 通りに書ける不思議な数だ。