９５．パスカルの三角形からニュートンへ
nを自然数として、( x + y )n の展開は比較的容易にできるが、逆の因数分解はなかなか難しい。
高校生になった息子が、
x4 + 4 y4 を因数分解せよ
という問題に出くわし、どうしたらよいかわからないようだった。
物理の研究を30年近くしている身にも、こんなに綺麗な数式を、なぜわざわざ因数分解するのか？という疑問を持つが、練習問題だから仕方がない。
結局息子は自分で解いたが、答えは
x4 + 4 y4 = ( x2 +2 x y + 2 y2 ) ( x2 －2 x y + 2 y2 )
左辺と右辺のどちらが美しいか？
でも、そんなこといったら、i = √(－1) という、２乗したらー1になる、つまり i 2
= －1 になる虚数単位を使えば
x4 + 4 y4 = ( x2 + i 2 y2 ) ( x2 － i 2 y2 )
= ( x + √2 i3/2 y ) ( x－√2 i 3/2 y ) ( x－√2 i 1/2 y ) ( x+√2 i 1/2 y )
= ( x + √2 ei(3/4)π y ) ( x－√2 ei(3/4)πy ) ( x－√2 ei(1/4)πy ) ( x+√2 ei(1/4)πy )
ともできるぞ？ここで、i 3/2 = ei(3/4)π =(－1 + i ) / √2、また、 i 3/2 = ei(1/4)π =(1 + i ) / √2
だ。
( 1 + x )n を展開した時の係数を、２項係数と呼ぶ。1665年、二項定理に現れる二項係数が、パスカルの三角形として簡単に表された。二項定理は
( 1 + x ) = 1 + x
( 1 + x )2 = 1 + 2 x + x2
( 1 + x )3 = 1 + 3 x + 3 x2 + x3
( 1 + x )4 = 1 + 4 x + 6 x2 +4 x3 + x4
・・・・
( 1 + x )n = nC0 + nC1 x + nC2 x2 + ・・・ + nCn xn
ただし nCr = n(n－1)×・・・×(n－r+1) / (1・2・3×・・・×r)
となる。ここで、xr の係数を並べると
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
・・・・・・・・・・・・
と三角形に並ぶが、中の数字は必ず、上斜め右と上斜め左の数の和になっている。例えば 5 段目の 6 は、右斜め上の 3 と左斜め上の 3 を足した数になっている。これをパスカルの三角形と言う。
少し並べ替えて、(1 + x )n の係数を縦に並べよう。一番上の段は、n の値。
|
n=0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
1 |
3 |
6 |
10 |
|
|
|
|
1 |
4 |
10 |
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
そうすると、右へ右へ新たな数字を書き込むには、左斜め上と左の数字を足していけば良いことが見て取れる。たとえば、n = 5 の 3 段目の 10 は、左斜め上の 4 と左の 6 を足したものだ。空欄は 0 と思う。
ニュートンは、この表を、n が負の時に拡張した。一番上の段は、n の値。
|
－5 |
－4 |
－3 |
－2 |
－1 |
n=0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
← x0 |
|
－5 |
－4 |
－3 |
－2 |
－1 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
← x1 |
|
15 |
10 |
6 |
3 |
1 |
|
|
1 |
3 |
6 |
10 |
← x2 |
|
－35 |
－20 |
－10 |
－4 |
－1 |
|
|
|
1 |
4 |
10 |
← x3 |
|
70 |
35 |
15 |
5 |
1 |
|
|
|
|
1 |
5 |
← x4 |
|
－126 |
－56 |
－21 |
－6 |
－1 |
|
|
|
|
|
1 |
← x5 |
|
・ ・ ・ |
・ ・ ・ |
・ ・ ・ |
・ ・ ・ |
・ ・ ・ |
|
|
|
|
|
|
|
表は下へ、無限に続く。n が負の時の表の作り方は、右隣の数字から真上の数字を引くことで得られる。例えば、n = －3 の時の4段目、x3 の係数になる－10 は、右隣の－4 から真上の 6 を引く、つまり、－4－6 = －10 として得られる。こうして、n ≧ 0 のパスカルの三角形から、n が負の左側へ表を拡張していく。こうすると、例えば、n =－3をみていくと、確かに
( 1 + x )－3 = 1 － 3 x + 6 x2 － 10 x3 + 15 x4 －21 x5 +・・・
と、無限に続く二項展開が得られる。微分積分学を学んでテーラー展開を知っている人は、x = 0 の周りのテーラー展開をしてみるとよい。
1676 年には、ニュートンは、n が分数の場合の展開にも成功する。ただし、パスカルの三角形を直接拡張したものではないことを、1676 年の手紙で示している。( 1－x2 )n 、(n=0,1,2・・・) のグラフの下の面積を求める問題から、n = 1 / 2 の場合への補間を考えて得たそうだ。ニュートンが書いたように書くと（下付き棒線は本当は上に書いている、また分数は分数として書いている）
P +PQ |m/n
= P m/n + (m / n ) AQ + ( m－n ) / (2n) BQ + (m－2n) / (3n) CQ + (m－3n) / (4n) DQ +&c
ここで、P は第１項、Q は残りの項を P で割ったもの、A、B、C、D はすぐ前の項といったことだ。
具体例を見ておこう。( 1 + x ) 1/2 でやってみよう。1 + x の平方根だ。見比べると P = 1、Q = x、m = 1、n = 2 だ。A は前の項、Pm/n = 1 、B も前の項、(m/n)AQ =(1/2)×1×x、C も前の項、(m－n) / (2n) BQ = (1－2) / (2×2) ×(x/2) × xだ。こうして、
( 1 + x )1/2 = 1 + (1/2) x －(1/8) x2 + (1/16) x3 －(5/128)x4 +・・・
となることが確かめられる。これも、テーラー展開を知っていると確認できる。
