９９．黄金比

　息子も高校生となり、数学の先生から授業以外の数学の話を聴く機会が増えた様だ。先生が黄金比の話をしたようで、詳しくなっていた。教科書以外の知識が学問への導入になることは多い。

　そういえば、自分自身も、正五角形の黄金分割の話を何かで読み、興味を持っていたことを思い出す。

　　　　　　　　　

　図のように正五角形を書こう。三角形ABC と ACD と ADE の 3 つから 5 角形が作られるので、正五角形の内角の和は、180 度 × 3 ＝ 540 度となり、正五角形の内角一つは540 ÷ 5＝108 度だとわかる。三角形ABE を考えると、これは二等辺三角形で、しかも角BAE が 108 度なので、角ABE と角AEB はともに 36 度になる。正五角形の 2 頂点を結ぶ線分は BE だけでなく、AC も同じだ。だから、同じく、角BAC（＝角BAF ）も、角ABE（＝角ABF ）と同じく 36 度だから、三角形FAB は二等辺辺三角形になる。底角FBA と FAB が等しいから。こうして、三角形ABE と三角形FAB は相似だ。だから、それぞれの三角形の辺の長さの比として

　　　　AB ： BE　＝　BF：AB　つまり　AB / BE = BF / AB

だから、

　　　　（AB)² ＝　BE × BF 　　・・・（１）

となる。

　また、角EAF は、角EAF ＝角BAE －角BAF ＝ 108 度－36 度 ＝ 72 度となり、角AEF = 3 6度だったので、三角形EAF を考えると、角EFA＝180度 － 角AEF － 角EAF ＝180度－36度－72度＝72度なので、三角形EAF も二等辺三角形であることがわかる。こうして辺の長さは AE = EF である。

　今、正五角形の辺の長さを 1 としておくと、

　　　　AB ＝ AE ＝ EF ＝ 1

である。さらに、対角線の長さ BE に対して、BE = x とすると、EF ＝1よ り、BF＝x－1 になる。こうして（１）式から

　　　1² ＝x ( x－1)

という式が得られる。整理すると、

　　　　x² － x －1 = 0 　　　・・・（２）

となる。こうして、この2次方程式を解くと、

　　　　x = ( 1 + √5 ) / 2 　（＞０）

が得られる。こうして、

　　　　BF ：FE  =  x－1 ： 1

　　　　　　　　 =  x² － x ： x

　　　　　　　　 = 1　：　x

が得られる。1 行目から 2 行目は、比の値にそれぞれ x を掛け、2 行目から 3 行目へは（２）式から x²－x = 1 であることを使った。こうして正五角形の対角線は、他の対角線で、1：x に分割されることが分かった。この分割を、黄金分割と呼び、比

　　　　x = ( 1 + √5 ) / 2　＝φ

を黄金比と呼ぶ。あらたに、φ という文字で定義した。φ はもちろん（２）式の正の解。√5 なんて無理数が入っているので、大体の数値を見ておくと

　　　　φ = 1.618033989・・・

　さて、黄金比 φ が得られたが、下の図のように、辺の長さが φ と φ² になる長方形ABCDを考えておこう。φ で割っておくと、変の長さの比は、

　　　　1　：　φ

だ。φ は（２）式を満たすので

　　　　φ＋1＝ φ²　　　・・・（３）

だから、一辺の長さ φ の正方形AEFD をとると、長方形EBCF が残る。この長方形の辺の長さは図のように 1 と φ だ。1 になるのは（３）式から、φ²－φ＝1 だから。

　こうして、辺の長さが 1：φ（＝φ：φ² ) の長方形から正方形を取り除くと、また辺の長さが 1：φ の長方形が得られる。何度やっても同じだ。

　　　　　

　そこで、下図のように次々正方形を取っていって、ついでに各正方形に 4 分の 1 の円を内接させていくと、アンモナイトの貝殻を横から見た様な図になる。生物は、進化の過程で、黄金比を知ることになったのだろうか。

　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　　　　　　　アンモナイト（Wikipediaより）

　さてさて、幾何学から離れてみよう。

　黄金比 φ は、次のような式で表される（フォントが無いので見にくい・・・）。

　　　　φ = √（1+√（1+√（1+√（1+・・・

つまり、ルート（１＋ルート（１＋ルート（１＋・・・）と、ルートの中に1+√・・・が繰り返し現れる。証明は簡単で、右辺を x とおくと、最初のルート（１＋・・・）を考えると、・・・の部分はまたxそのものだから、

　　　　x = √(1 + x )

に他ならない。2 乗すると

　　　　x² = 1 + x

となり、これは黄金比を求めた際の（２）式だから、解いて正の解を取ったら φ になる。

　また、黄金比は連分数でも表される（フォントが無いのでちょっと書けないなぁ）。

　　　　　　　　　　　　

右辺の1＋の次の分数の分母も、1+となっていて、これは φ そのもの。そこで、φ の代わりにまた x と書くと、

　　　　x = 1 + 1 / x

となるので、x を掛けると

　　　　x² = x + 1

となって、やっぱり（２）式だ。だから、解は黄金比 φ に一致する。

　さてさてさて、黄金比 φ の逆数を見ておこう。

　　　1 /φ = 2 / (1 + √5 ) = 2×( 1－√5）/ ( ( 1 + √5)×( 1－√5 ) )

　　　　　 = －( 1 －√5 ) / 2

　　　　　 = ( 1 + √5  ) / 2 － 1

　　　　　 = φ－ 1

となる。計算するまでもなく（３）式を両辺 φ で割ると得られる式だ。何が言いたかったかと言うと、黄金比の逆数 1 /φ は黄金比の小数点以下の部分、0. 618033989・・・を表しているということ。φ から、整数部分の 1 を引いているから。

　フィボナッチ数との関係も見ておこう。

　一つがいの兎がいた。1 年目は成長するだけで何も起きないので、1 年後、つまり 2年目も兎は一つがいだ。2 年目中に一つがいの兎を産む。こうして、3 年目（の初め）には 2 つがいの兎がいる。4 年目にも一つがいの兎を産むが、昨年生まれたつがいの兎はまだ子を産まないので、4 年目には全部で 3 つがいの兎だ。5 年目には最初に生まれた兎が成長して一つがいの兎を産む。もとからいた一つがいの兎も一つがいの兎を産むので、5 年目には全部で 5 つがいだ。こうして数列を書いていくと、

　　　　1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、・・・　　　　・・・（４）

となる。この数列は

　　　　F_n+2 = F_n+1 + F_n   , (n=1, 2, 3, ・・・）　　　　　・・・（５）

と表される。これを提案者の名前を取って、フィボナッチ数、フィボナッチ数列と呼ぶ。たとえば、フィボナッチ数の 5 番目は（４）の 5 番目、5 だ。6 番目は 8 だから、（５）式に当てはめ、

　　　　F₇ = F₆ + F₅ = 8 + 5 = 13

と、正しく（４）の並びの 7 番目の数が出ている。

　このフィボナッチ数列で、一つ前の数字との比を取ってみる。例えば、

　　　　F₄ / F₃= 3 / 2 = 1.5

   　　    F₅ / F₄ = 5 / 3 = 1.6666666666・・・

　　　　F₆ / F₅ = 8 / 5 = 1.6

　　　　F₇ / F₆ = 13 / 8 = 1.625       

　　　　F₈ / F₇ = 21 / 13 = 1.615384615・・・

　　　　F₉ / F₈ = 34 / 21 = 1.619047619・・・

　　　　F₁₀ / F₉ = 55 / 34 = 1.617647059・・・

　　　　F₁₁ / F₁₀= 89 / 55 = 1.611818181・・・

と、なんとなく、黄金比、1.618033989・・・に近づいてくるようだ。調子にのって、もっと計算すると

　　　　F₂₀ / F₁₉ = 6765 / 4181 = 1.618033963・・・

うん、近い。もうちょっと。

　　　　F₅₀ / F₄₉ = 12586269025 / 7778742049 = 1.618033989・・・

いい感じだ。

　今、r ⁿ という形の数列が、フィボナッチ数列を決める（５）式を満たすとしてみよう。すると、

　　　　rⁿ⁺² = rⁿ⁺¹ + rⁿ　　・・・（６）

が成り立つはずだ。rⁿ で割っておくと

　　　　r² = r + 1　　　　・・・（６）’

となり、これは黄金比を求めた（２）式と同じだ。そこで、黄金比となる解を φ、もう一方を ψ としておこう。つまり、

　　　　φ＝( 1 + √5 ) / 2　、　　　ψ＝( 1 － √5 ) / 2

これはどちらも（６）式を満たすので、

　　　　φⁿ⁺² = φⁿ⁺¹ + φⁿ、　　　ψⁿ⁺² = ψⁿ⁺¹ + ψⁿ

が成り立っている。だから、c、d を定数として、

　　　　c φⁿ + d ψⁿ

も（６）すなわち（５）式を満たしている。フィボナッチ数列の最初の 2 項はともに1なので、この条件から c と d を決めよう。n=1、n=2で

　　　　c φ + d ψ = 1 、　　　　c φ² + d ψ² = 1

ここで、φ² = φ + 1、ψ² = ψ+ 1が成り立っているので、2 乗の項を消去すると、上の 2式から

　　　　c + d = 0

が得られる。よって、

　　　　( 1 = )  F₁ = c φ + dψ = cφ－ cψ= c√5  、よって、c = 1 / √5

と決まる。さらに

　　　　ψ＝ ( 1 － √5 ) / 2 = －1 / φ

の関係に気づけば、フィボナッチ数は黄金比を用いて、

　　　　F_n = ( φⁿ －(－1 / φ)ⁿ ) / √5

と書けてしまう。n を十分大きくとると、( 1 / φ ) ⁿ →　0　となるので、F_n ≒ φⁿ / √5になる。こうして、

　　　　F_n+1 / F_n   －(n大きいとき)→　φ

が得られる。これが、隣り合うフィボナッチ数の比が、だんだん黄金比に近づいてくる理由だ。

　黄金比の話からフィボナッチ数列まで来てしまった。最後に、95 回で見た「パスカルの三角形」にもフィボナッチ数列が現れることを見ておしまいにしておこう。図の矢印の並びの数を足すとフィボナッチ数列が現れる。

　　　　　　　

　フィボナッチはイタリアのピサで生まれた。「ピサのレオナルド」が名前の様だが、「ボナッチオ ( Bonacci o) の息子」、filius Bonacci と呼ばれていたようだ。filius が息子。フランス語では fils だ。filius はラテン語そのまま、イタリア語になっている。

　イタリアのフィレンツェで国際会議が行われたときに参加したが、学会の合間にエクスカージョン（遠足）があり、ピサに行った。ピサの斜塔に上がり、ガリレオが振り子の等時性を発見した教会に行き、と定番コースの観光をしている最中に、数学の研究所を見つけた。Laboratorio FIBONACCI という名の研究所であった。