１２３．ネイピア数と三角関数

　前回と前々回、ネイピア数 e に触れた。

　　　　e =  2.7182・・・

という数だ。この数を底にしておくと、ε を小さい数として、対数は

　　　　ε ≒ log _e (1 + ε ) 　　　　・・・（１）

と近似できた。

　今回は、「複素数乗」を見ておこう。

　x² = －1 の解は、実数の中には見当たらない。（負の数）×（負の数）は正の数になるので、同じ数を 2 乗したら必ず正の数になってしまい、負の数にはならない。だから－1 になる数はない。そうしたら、解けない方程式が出てくるので、x² = －1 の解として「虚数」を導入する。－1 の平方根を i と書き、虚数単位という。

　　　　i = √(－1)

こうして、ネイピア数の複素数乗を考えてみよう。e^iθ を考える。θ は実数とする。e^iθ もまた複素数だろうから、

　　　　e^iθ = x + i y 　　　　・・・（２）

と置いてみよう。ここで、x と y は実数、ふつうの数としておき、ここには虚数単位 i は含まれない。ここで、「複素共役」と呼ばれる数、e^－iθ を導入しよう。i を－i にしたものなので、（１）と同様、i を－i にして

　　　　e^－iθ = x － i y 　　　　・・・（３）

となる。（２）と（３）をかけると、すべての数の「ゼロ乗」は1だから、e⁰ = 1 を使って、

　　　　1 = e^iθ－iθ = e^iθ×e^－iθ ＝ ( x +iy) (x－iy) = x² + y²

となっていなければならないことがわかる。ここで、i² =－1を 使っている。

　さて、（１）から、

　　　　e^ε ≒ 1 + ε

だったので、ε= iθ として

　　　　e^iθ ≒ 1 + iθ

だ。θ が小さいとしたので、θ= 1/1024 あたりから計算しておき、次々掛け算して値を見てみよう。まずは

　　　　e^{i (1/1024)} = 1.000 + 0.00097656× i

次々かけるというのは

　　　　e^{i (1/512)}  =　e^{i (2/1024)} = e^{i (1/1024)}×e^{i (1/1024)}

　　　　　　　　= ( 1 + 0.00097656× i )×( 1 + 0.00097656× i )

　　　　　　　　=( 1×1 +0.00097656 ×0.00097656×i² )

 　　　　　　　　　+ i×(1×0.00097556 +0.00097656×1)

　　　　　　　　=0.9999990463 + 0.001953125 × i

という計算をするということ。次は、e^{i (1/256)} =　e^{i (2/512)} = e^{i (1/512)} × e^{i (1/512)} を計算する。表にまとめてみよう。近似なので、あまり桁の数がずれていることには気にしないで。

　　　　　　　　iθ　　　　　　　e^iθ  

　　　　-----------------------------------------------------

　　　　　　　i/1024         1.0000+0.000097656×i

　　　　　　　i/512          0.9999990463+0.001953125×i

　　　　　　　i/256          0.9999942779+0.003906246×i

　　　　　　　i/128          0.9999732971+0.007812447×i

　　　　　　　i/64           0.9998855606+0.015624477×i

　　　　　　　i/32           0.9995270100+0.031245378×i

　　　　　　　i/16           0.9980779701+0.062461199×i

　　　　　　　i/8            0.9922582330+0.124682293×i

　　　　　　　i/4            0.9690307268+0.247434064×i

　　　　　　　i/2            0.8777969335+0.479542422×i

　　　　　　　i　            0.5405665220+0.841881735×i

電卓で計算しているので間違えているかもしれない。実際、

　　　　　　　i　            0.5403+0.8415×i

になるはず。ここからは、この桁で進もう。

　  　　　　　　i　            0.5403+0.8415×i

　　　　　　　2i　         －0.4162+0.9093×i

　　　　　　　4i　         －0.6536－0.7569×i

　　　　　　　8i　         －0.1457+0.9894×i

2 倍ずつしたが、例えば e³ⁱ だったら、

　　　　　　e³ⁱ = e²ⁱ eⁱ =(－0.4162+0.9093×i)×(0.5403+0.8415×i)

　　　　　　　　= －0.9900+ 0.1411×i

として計算できる。

　ざっと見ると、e^iθ の実数部分、x は 1 から始まり振動している。虚数部分、y は 0 から始まりやはり振動している。グラフに表すと、

　　　　　　　　

となる。

 　ここで、e^iθ の実数部分が 0 になる θ は 1 と 2 の間、実数部分を右に平行移動した虚数部分が 0 になる θ は 2 と 4 の間にある。そこで、虚数部分が 0 になる θ を π と書く。実数部分が最初に 0 になる θ は π/2 になる。虚数部分が最初に 0 になる θ、すなわち π は

　　　　π=3.141592653589793・・・

となる。円周率の導入だ。

　さらに、実部、虚部の振動する関数として

　　　　ｘ= cos θ、　　y = sinθ

と書いておこう。三角関数だ。確かに、x² + y² = cos²θ + sin²θ = 1 だ。

　こうして、

　　　　e^iθ = cosθ + i sinθ

オイラーの公式だ。