128.2021
二項係数 nCk は、次のように定義される。
nCk = n ! / ( ( n-k)! k! )
ここで、ビックリマークは“階乗”で、
n ! = n×(n-1 )×( n-2 )×・・・×2×1
ただし、0 ! = 1 と定義しておく。
二項係数は、べき乗の展開の時に現れる。
( x + y )n = xn + n xn-1 y + ( n ( n-1)/2) xn-2 y2 +・・・+ n x yn-1 + yn
= nC0 xn + nC1 xn-1 y+ nC2 xn-2 y2 + ・・・+ nCn-1 x yn-1+ nCn yn
= Σk=0n nCk xn-k yk
ここまで準備しておいて、( n + 1 )n+1 を展開しよう。ここでnは自然数で、上の式に対応させるために、x=n、y=1として、さらにべきのnはn+1として、上の式から
( n + 1 )n+1 = n+1C0 nn+1 + n+1C1 nn + n+1C2 nn-1 + ・・・+ n+1Cn-1 n2
+ n+1Cn n + n+1Cn+1
= n2 ×( n+1C0 nn-1 + n+1C1 nn-2 + n+1C2 nn-3 + ・・・+ n+1Cn-1 )
+ ( n+1 )! / ((n+1-n)!n!×n + 1
= n2 ×( n+1C0 nn-1 + n+1C1 nn-2 + n+1C2 nn-3 + ・・・+ n+1Cn-1 )
+ n ( n+1 ) + 1
= n2 ×( n+1C0 nn-1 + n+1C1 nn-2 + n+1C2 nn-3 + ・・・+ n+1Cn-1 )
+ n2 + n + 1
= n2 ×( n+1C0 nn-1 + n+1C1 nn-2 + n+1C2 nn-3 + ・・・+ n+1Cn-1 + 1 )
+ n + 1
1 行目は式に代入し、2 行目は後ろの2項を残して、n2 で括った。3 番目の等式は後ろの2 項の二項係数の具体的表式を入れて、4 番目の等式は後ろの 2 項をばらし、n2 がまた出てきたので、n2 で括った括弧の中に入れた。そうすると、両辺を n2 でわると、n+1 が余るというわけだ。ただし、n+1 が“余り”となるには、
n2 > n+1 すなわち、n が自然数であるので、n ≧ 2
が必要。
じゃぁ、n=2 でやってみよう。このとき n+1=3 なので、
33 = 27 = 4×6 + 3
= 22 ×6 + 3
なので、33 は 22 でわると、3 余る。
こうして、いきなりだが、
20212021 は 20202 で割ると、2021 余る
上の話と関係ないが、ついでに
2021 = 43 ×47
こうして、( x - y )×( x + y ) = x2 - y2 が使えて、
2021 = 452 - 22