128.2021

 二項係数 nCk は、次のように定義される。

 

    nCk = n ! / ( ( n-k)! k! )

 

ここで、ビックリマークは“階乗”で、

 

    n ! = n×(n-1 )×( n-2 )×・・・×2×1

 

ただし、0 ! = 1 と定義しておく。

 

 二項係数は、べき乗の展開の時に現れる。

 

   ( x + y )n = xn + n xn-1 y + ( n ( n-1)/2) xn-2 y2 +・・・+ n x yn-1 + yn

       = nC0 xn + nC1 xn-1 y+ nC2 xn-2 y2 + ・・・+  nCn-1 x yn-1+ nCn yn

       = Σk=0n nCk xn-k yk

 

 ここまで準備しておいて、( n + 1 )n+1 を展開しよう。ここでnは自然数で、上の式に対応させるために、x=n、y=1として、さらにべきのnはn+1として、上の式から

 

 ( n + 1 )n+1 = n+1C0 nn+1 + n+1C1 nn + n+1C2 nn-1  + ・・・+ n+1Cn-1 n2

        + n+1Cn n + n+1Cn+1

      = n2 ×( n+1C0 nn-1 + n+1C1 nn-2 + n+1C2 nn-3  + ・・・+ n+1Cn-1 )

        + ( n+1 )! / ((n+1-n)!n!×n + 1

      = n2 ×( n+1C0 nn-1 + n+1C1 nn-2 + n+1C2 nn-3  + ・・・+ n+1Cn-1 )

        + n ( n+1 ) + 1

      = n2 ×( n+1C0 nn-1 + n+1C1 nn-2 + n+1C2 nn-3  + ・・・+ n+1Cn-1 )

        + n2 + n + 1

      = n2 ×( n+1C0 nn-1 + n+1C1 nn-2 + n+1C2 nn-3  + ・・・+ n+1Cn-1 + 1 )

        + n + 1

 

1 行目は式に代入し、2 行目は後ろの2項を残して、n2 で括った。3 番目の等式は後ろの2 項の二項係数の具体的表式を入れて、4 番目の等式は後ろの 2 項をばらし、n2 がまた出てきたので、n2 で括った括弧の中に入れた。そうすると、両辺を n2 でわると、n+1 が余るというわけだ。ただし、n+1 が“余り”となるには、

 

    n2 > n+1 すなわち、n が自然数であるので、n ≧ 2

 

が必要。

 

 じゃぁ、n=2 でやってみよう。このとき n+1=3 なので、

 

    33 = 27 = 4×6 + 3

     = 22 ×6 + 3

 

なので、33 は 22 でわると、3 余る。

 

 こうして、いきなりだが、

 

    20212021  は  20202 で割ると、2021 余る

 

 上の話と関係ないが、ついでに

 

    2021 = 43 ×47

 

と、2021 は 2 つの連続する素数素因数分解できる。

こうして、( x - y )×( x + y ) = x2 - y2 が使えて、

 

    2021 = 452 - 22