１２９．パスカルの三角形とフィボナッチ数とその拡張

　前回や第95回で、( 1 + x )ⁿ を展開した時の係数を、２項係数と呼び、２項係数の具体を見た。二項係数 _nC_k は

　　　　( 1 + x )⁰ = 1

　　　　( 1 + x ) = 1 + x

　　　　( 1 + x )² = 1 + 2 x + x²

　　　　( 1 + x )³ = 1 + 3 x + 3 x² + x³

　　　　( 1 + x )⁴ = 1 + 4 x + 6 x² +4 x³ + x⁴

　　　　　　　・・・・

　　　　( 1 + x )ⁿ = _nC₀ + _nC₁ x + _nC₂ x² + ・・・ + _nC_n xⁿ

　　　　　　　ただし　_nC_r = n!/ ( (n－r)! r!)

　　　　　　　　　　　　  = n(n－1)×・・・×(n－r+1) / (1・2・3×・・・×r)

と、展開係数に現れた。また、二項係数は、パスカルの三角形として簡単に表された。上の式で、x^rの係数を三角形にして並べると

　　　　　　　　　　　　　1

　　　　　　　　　　　　1   1

　　　　　　　　　　　1　 2　 1

　　　　　　　　　　1    3     3    1

　　　　　　　　　1    4     6    4    1

 　　　　　　　・・・・・・・・・・・・

と並ぶ。中の数字は必ず、上斜め右と上斜め左の数の和になっていた。例えば 5 段目の6 は、右斜め上の 3と左斜め上の 3 を足した数になっている。

　 (1 + x )ⁿ の係数、上のパスカルの三角形を左揃えで書いておこう。

　　　

　さて、第 99 回で見たフィボナッチ数を思い出しておこう。

　一つがいの兎がいた。1 年目は成長するだけで何も起きないので、1 年後、つまり 2年目も兎は一つがいだ。2 年目中に一つがいの兎を産む。こうして、3 年目（の初め）には 2 つがいの兎がいる。4 年目にも一つがいの兎を産むが、昨年生まれたつがいの兎はまだ子を産まないので、4 年目には全部で 3 つがいの兎だ。5 年目には最初に生まれた兎が成長して一つがいの兎を産む。もとから居た一つがいの兎も一つがいの兎を産むので、5 年目には全部で5つがいだ。こうして数列を書いていくと、

　　　　1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、・・・　　　　・・・（１）

となる。この数列は

　　　　F₁ (n+2) = F₁(n+1) + F₁(n)   (n=1, 2, 3, ・・・）　　　　　・・・（２）

　　　　　　　ただし、F₁(1) = F₁(2) = 1

と表される。これが、フィボナッチ数の定義で、フィボナッチ数列と呼ばれるのだった。たとえば、フィボナッチ数の 5 番目は（１）の 5 番目、5 だ。6 番目は 8 だから、（２）式に当てはめ、

　　　　F1(7)=F1(6)+ F1(5) = 8 + 5 = 13

と、正しく（１）の並びの 7 番目の数が出ている。

　第 95 回で見たように、「パスカルの三角形」にもフィボナッチ数列が現れる。図の矢印の並びの数を足すとフィボナッチ数列が現れる。三角形に並べた数字を左端に寄せたので、傾き１の直線状に並ぶ数を足したものになっている。

　　　

　さて、（１）、（２）のフィボナッチ数を拡張しておこう。（２）の定義の代わりに、p ≧ 1 の自然数として、

　　　　　F_p (n+p+1) = F_p(n+p) + F_p(n)   (n=1, 2, 3, ・・・）　　　　　・・・（３）

　　　　　　　ただし、F_p(1) = F_p(2) =・・・= F_p(k) = 1  （ただし、1≦ k ≦ p + 1 ）

といった数列を導入しよう。たとえば、p = 1 でフィボナッチ数列（２）が現れる。　　

　今、p = 2 とすると

　　　　　F₂ (n+3) = F₂(n+2) + F₂(n)   (n=1, 2, 3, ・・・）　　　　　・・・（４）

　　　　　　　ただし、F₂(1) = F₂(2) = F₂(3) = 1 

となり、最初の幾つかを書いておくと、

　　　　　F₂(1) = 1 

　　　　　F₂(2) = 1 

　　　　　F₂(3) = 1 

　　　　　F₂(4) = F₂(3) + F₂(1) = 1 + 1 = 2 

　　　　　F₂(5) = F₂(4) + F₂(2) = 2 + 1 = 3 

　　　　　F₂(6) = F₂(5) + F₂(3) = 3 + 1 = 4 

　　　　　F₂(7) = F₂(6) + F₂(4) = 4 + 2 = 6 

　　　　　F₂(8) = F₂(7) + F₂(5) = 6 + 3 = 9 

実は、この数列も、パスカルの三角形に現れる。今度は、傾き 2 の直線状に並ぶ数字を足したものになっている。

　　　

　今度は、p = 3 とすると

　　　　　F₃ (n+4) = F₃(n+3) + F₃(n)   (n=1, 2, 3, ・・・）　　　　　・・・（５）

　　　　　　　ただし、F₃(1) = F₃(2) = F₃(3) = F₃(4) = 1 

となり、最初の幾つかを書いておくと、

　　　　　F₃(1) = 1 

　　　　　F₃(2) = 1 

　　　　　F₃(3) = 1 

　　　　　F₃(4) = 1 

　　　　　F₃(5) = F₃(4) + F₃(1) = 1 + 1 = 2 

　　　　　F₃(6) = F₃(5) + F₃(2) = 2 + 1 = 3 

　　　　　F₃(7) = F₃(6) + F₃(3) = 3 + 1 = 4 

　　　　　F₃(8) = F₃(7) + F₃(4) = 4 + 2 = 5 

　　　　　F₃(9) = F₃(8) + F₃(5) = 5 + 2 = 7 

　　　　　F₃(10) = F₃(9) + F₃(6) = 7 + 3 = 10 

この数列も、パスカルの三角形に現れ、傾き 3 の直線状に並ぶ数字を足したものになっている。

　　　

　こうして、どんどん拡張できる。

　とりとめのない話をもう少し。次の１行目の関数を考え、べき展開すると

　　　　f₁(x) = 1 / ( 1－x－x² )

　　　　　　= 1 + x + 2 x² + 3 x³ +5 x⁴ + 8 x⁵ + 13 x⁶ +・・・

と、x^r の係数にフィボナッチ数が現れている。どうしてそうなるか、見ておこう。

　便宜のために、F_１(0) = 0 と付け足しておこう。このとき、フィボナッチ数（１）または（２）を用いて

　　　　f(x) = Σ_n=0^∞F₁(n) xⁿ

　　　　　　＝ 　F_１(0) + F_１(1) x + F₁(2) x² + F₁(3) x³ + F₁(4) x⁴ + F₁(5) x⁵ +・・・

　　　　　　=    0 + x +  x² + 2 x³ + 3 x⁴ + 5 x⁵ +・・・

を導入しておく。両辺から x を引いておくと、F_１(0) = 0 に注意して

　　　　f(x) － x = Σ_n=2^∞F₁(n) xⁿ

　　　　　　　 　= Σ_n=2^∞( F₁(n－1) + F₁(n－2) ) xⁿ

　　　　　　　 　= Σ_n=1^∞F₁(n) xⁿ⁺¹ + Σ_n=0^∞F₁(n) xⁿ⁺²

となる。1 行目から 2 行目はフィボナッチ数列の関係式（２）を使い、2行目から3行目は第1項目は n を n+1 と変えて、2 項目は n を n+2 と付け替えて、和を揃えた。第 1 項目に F₁(0) = 0 を足しておくと

　　　　　　f(x) － x = Σ_n=0^∞F₁(n) xⁿ⁺¹ + Σ_n=0^∞F₁(n) xⁿ⁺²

　　　　　　　　　　= x Σ_n=0^∞F₁(n) xⁿ + x² Σ_n=0^∞F₁(n) xⁿ

　　　　　　　　　　= x f(x) + x² f(x)

となるので、f(x) について解くと

　　　　f(x) = x / ( 1－x－x² )

が得られる。こうして、両辺 xでわったものを f₁(x) と名付けると、F_１(0) = 0 に注意して 

　　　　f(x) / x = f₁ (x)

　　　　　　　 ＝ F_１(1) + F_１(2) x + F₁(3) x² + F₁(4) x³ + F₁(5) x⁴ + F₁(6) x⁵ +・・・

　　　　　　　　=  1+ x + 2 x² + 3 x³ + 5x⁴ + 8 x⁵ +・・・

 と、欲しい関係が得られる。

　（３）の級数についてはどうだろうか。もう簡単だが、今と同じようにして、

　　　f_p (x) = 1 / ( 1－x－x^p )

　　　　　＝ F_p(1) + F_p(2) x + F_p(3) x² + F_p(4) x³ + F_p(5) x⁴ + F_p(6) x⁵ +・・・（６）

と、フィボナッチ p 数が展開係数として得られる。

　さらに、もうひとつ、よもやま話。

　第 77 回で、素粒子物理、弦理論などで出てくる

　　　　1 + 2 + 3 + 4 + ・・・　＝ －1/12

を紹介した。正の量を無限に足していくと、負の数が出てくる。

　同じことをフィボナッチ数でやってみよう。フィボナッチ数を無限に足していく。

　　　　S₁ = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 +・・・

少しずらして、同じものを 2 行に並べて書いておこう。

　　　　S₁ = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 +・・・　　　　

　　　　S₁ = 　  1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 +・・・

上と下、辺々足すと

　　　2 S₁ = 1 + ( 1 + 1) +( 2 + 1) + ( 3 + 2 ) + ( 5 + 3) + ( 8 +5 ) +・・・

　　　　　= 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + ・・・

　　　　　= 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + ・・・－1

　　　　　= S₁ －1

3 行目は 1 を足して 1 引いておいた。3 行目の・・・までに、再びフィボナッチ数列の無限和が現れている。そこで、4行目のようになる。こうして、

　　　　S₁ = －1

となった。やっぱり負の数になる。

　フィボナッチ p 数の和も同じだ。

　　　　　S_p ＝ F_p(1) + F_p(2) + F_p(3) + F_p(4) + F_p(5) + F_p(6) +・・・

　　　　　　= Σ_n=1^∞ F_p(n)

同じようにして、少しずらして 2 行に分けて和を書いておくと、

2 S_p ＝ F_p(1) + F_p(2) + ・・・+ F_p(p)       　　　+ F_p(p+1) + F_p(p+2) +・・・

　　　　　　　　　　　　　　　　      　　　 +  F_p(1) +   F_p(2) + ・・・

　　= F_p(1) + F_p(2) + ・・・+ F_p(p)         　　　+ F_p(p+2) + F_p(p+3) +・・・

　　= F_p(1) + F_p(2) + ・・・+ F_p(p) + F_p(p+1)  + F_p(p+2) + F_p(p+3) +・・・－F_p(p+1)

　　= S_p－F_p(p+1)

こうして、

　　　　S_p =－F_p(p+1) = －1

まぁ、収束半径を無視して、（６）で両辺 x = 1 を入れたのと同じになる。

　なんか、物理から離れてきたなぁ。