１３２．“幾何”級数

　これまで、何度か数列の和が出てきた。近いところでは、2 回前、130 回で、

　　　　1 + x + x² + x³ + x⁴ +・・・　＝　1 / ( 1－x )

何てのが出てきた。これは、項が進むごとに x を掛けていく、言い換えれば、ある項 xⁿと、一つ前の項 x^n－1 の比 xⁿ / x^n－1 が常に x であるという意味で、各項の数列は等比級数と呼ばれ、今はすべて足しているので、等比級数の和と呼ばれる。

　一応証明しおこう、

　次の数列の和を考えよう。収束性を考えて、0 < r < 1 としておく。

　　　　S(r) = r + r² + r³ + r⁴ +・・・+ rⁿ 

　　　　　　= Σ_k=1ⁿ r^k

両辺に r を掛けると

　　　　r S(r) = r² + r³ + r⁴ +・・・+ rⁿ + rⁿ⁺¹

となる。辺々引き算をすると、右辺の r² から rⁿ は引き算されてなくなるので、

　　　( 1－r ) S(r) =  r － rⁿ⁺¹

が得られる。こうして、欲しい数列の和 S は

　　　　S(r) = r + r² + r³ + r⁴ +・・・+ rⁿ

　　　　　　= ( r － rⁿ⁺¹ ) / ( 1－r )

　　　　　　＝ r ×( 1－rⁿ ) / ( 1－r )

と纏められる。証明終わり。

　今、n が無限大まで続く級数の和が欲しいので、今導いた式で n →∞ にすると、r < 1だったので、r^n→∞ =  0 から、

　　　 S(r) = r + r² + r³ + r⁴ +・・・

　　　　　 = lim _n→∞  r×( 1－ rⁿ ) / ( 1－r )

　　　　　 ＝ r / ( 1－r ) 　　　　　　　　　　・・・（１）

となる。

　ついでに、両辺 1 を足しておくと

　　　　1 + r + r² + r³ + r⁴ +・・・

　　　＝ 1 + r / ( 1－r )

　　　= 1 / ( 1－r )

が得られ、r=x と書くと、一番初めにあげた式になっていることが分かる。

　証明再び終わり。

　ところで、等比級数のことを、何故 “幾何級数” というのだろうか？ どうしてだか良く判らない。

　とりあえず、こんなことなんだろうかと、想像してみる。

　例えば、p を 2 以上の自然数として、r = 1 / p  ( < 1 ) の場合を考えてみよう。まずは、p=2。このとき、正方形の 2 倍の長方形を分割して行こう。図のように最初、面積1 の長方形を 2 つに分けて、2 つの正方形にする。

　　

正方形の面積はそれぞれ 1/2 だ。そのうちの一つを置いておく。もう一つの正方形を、再び 2 つの長方形に分ける。この長方形の面積はそれぞれ 1/4 だ。できた長方形の一つを先ほどの面積 1/2 の正方形に足す。残りの面積 1/4 の長方形を再び 2 つの正方形に分割する。面積 1/8 の正方形が2つできる。一つを、面積 1/2 と面積 1/4 の方形を足した方に足しておいて、残りの 1/8 も長方形を再び、面積 1/16 の正方形に分割して、一方を足して、他方をさらに分割し、という操作を繰り返すと、結局元の面積 1 の長方形を、1/2、1/4、1/8、1/16、・・・と分割して足したものになる。こうして、数式としては

　　　　1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ・・・・

となるはずだ。これは、（１）式で、r = 1/p = 1/2 と置いたもの

　　　　S(1/2) = (1/2) / ( 1－1/2 ) = 1

に他ならない。

　この図形を下の図のように並べると、一目瞭然だ。

　　　　　　　　

　次いで、p=3、すなわち r = 1/3 のときを見てみよう。図の面積 1 の長方形を 3 分割し、面積 1/3 の図形を 2 つ並列しておく。

　　

残りの 1/3 の正方形を 3 等分し、それぞれ 1/9 の長方形の 2 つを、先ほどの面積 1/3 の正方形に並置しておく。残り 1 つの 1/9 の長方形を面積 1/27 の 3 つの正方形に分割し、2 つをさっきの 1/3、1/9 の図形の続きに並べておこう。残った 1/27 の長方形を 3分割し・・・と続けていくと、最初の面積 1 の長方形が、まったく同じ 2 つの系列に分割できる。こうして、各方形の系列の面積を足すと、それぞれ 1/2 になっているはずだ。こうして、

　　　　1/2 = 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 +・・・

が得られる。これは、やはり（１）式で r=1/3 を代入したものになっている。

　　　　S(1/3) = ( 1 / 3 ) / ( 1－1/3 ) = 1 / 2

　えい、p=4 でやっておこう。今度は r =1/4 の場合だ。もう、さっきとおんなじ。図の面積 1 の正方形を 4 分割し、面積 1/4 の図形を 3 つ並列しておく。

　

残りの 1/4 の正方形を 4 等分し、それぞれ 1/16 の正方形の 3 つを、先ほどの面積 1/4の正方形に並置しておく。残り 1 つの 1/16 の正方形を面積 1/64 の 4 つの正方形に分割し、3 つをさっきの 1/4、1/16 の図形の続きに並べておこう。残った 1/64 の正方形を 4 分割し・・・と続けていくと、最初の面積 1 の正方形が、まったく同じ 3 つの系列に分割できる。こうして、各、方形の系列の面積を足すと、それぞれ 1/3 になっているはずだ。こうして、

　　　　　　1 / 3 = 1 / 4 + 1 / 16 + 1 / 64 + ・・・

　これを続けると、p を 2 以上に自然数のとき、

　　　　　1 / ( p－1 ) = 1 / p + 1 / p² + 1 / p³ + 1 / p⁴ +・・・　　　　（２）

が得られるだろう。ここで、1 / p = r とおくと、

　　　　　1 / ( p－1 ) = 1 / ( 1 / r －1 ) = r / ( 1－r )

なので、（2）式は

　　　　　r / ( 1－r ) = r + r² + r³ + r⁴ + ・・・

となって、（１）式が再現される。ただし、“幾何学的”には、r が単位分数、1 / p の場合だけだ。一般に、r は 0 < r < 1 であれば無理数でも良いので、（１）式の証明は強い。

　でも、まぁ、一部とはいえ、幾何学的に解釈可能だから、“幾何級数”というのだろうか？