119.魔方陣
数字を正方形に配置し、縦、横、斜めの数字を足したら、どれも同じ数字になる並び方を「魔方陣」と呼ぶ。1から 9 までの数字を使った 3×3 の魔方陣は、反転とか回転とかしたら同じになるものを除けば 1 種類しかなく、
2 9 4
7 5 3
6 1 8
である。縦、横、斜め、それぞれ 3 つの数字を足すと、どれも 15 になる。子供の頃には、
「憎し(294)と思う七五三(753)、618は十五なりけり」
と、五七五調で覚えることが、何かの本に書いてあった。
1 から 16 まで使う 4×4 の魔方陣は、たくさんあるそうだ。中でもおそらく有名なのは、ドイツのアルブレヒト・デューラー (1471-1528) の「メランコリアI」に描かれている魔方陣だろう。しかも、下の行の中 2 つのマスは「15 14」とあり、制作年を表しているそうだ。
デューラー魔方陣は、1 から 16 まで右上から順に並べた方陣
4 3 2 1
5 6 7 8
9 10 11 12
16 15 14 13
から出発し、まず、四隅の数の上下だけ入れ替える。
16 3 2 13
5 6 7 8
9 10 11 12
4 15 14 1
次に、真ん中の 2×2 の正方形にある4つの数字、6,7と 10、11、上下を入れ替える。
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12 ・・・(1)
4 15 14 1
これで出来上がり。縦、横、斜め、それぞれ和は 34 になっている。おまけに、左上、左下、右上、右下にできる2×2の正方形の中の数字の和も 34 になる。例えば左上だと、16+3+5+10=34。ついでに、真ん中の 2×2 の正方形の中の数を足しても 34 だ。10+11+6+7=34。
4×4 の魔方陣は、一旦出来たら、[A](i)1 行目と 4 行目を入れ替えてから、(ii)1列目と 4 列目を入れ替える、という操作で、新たな魔方陣ができる。また[B](i)2 行目と 3 行目を入れ替えてから、(ii)2 列目と 3 列目を入れ替える、という操作でも新たな魔方陣が出来る。さらには、[C](i)1 行目と 2 行目、3 行目と 4 行目それぞれを入れ替えてから、(ii)1 列目と 2 列目、3 列目と 4 列目をそれぞれ入れ替える、という操作でもできる。
5 10 11 8 10 5 8 11
16 3 2 13 -> 3 16 13 2
4 15 14 1 15 4 1 14
9 6 7 12 6 9 12 7
となる。右側のが再びデューラー魔方陣だ。さらに [B] の操作をすると
10 5 8 11 10 8 5 11
15 4 1 14 -> 15 1 4 14
3 16 13 2 3 13 16 2
6 9 12 7 6 12 9 7
と、再び、右側にデューラー魔方陣が出来た。実は、デューラーの「メランコリアI」ばりに、とある人の誕生日を忍ばせておいた。
7 2 16 9
12 13 3 6
1 8 10 15 ・・・(2)
14 11 5 4
という魔方陣を考えると、縦、横、斜めはすべて 34 になるのはもちろん、2×2 の正方形、どこをとっても 4 つの数の和は 34 になる。デューラー魔方陣では 34 にならなかった 2 行目、3 行目、1 列目、2 列目の正方形では、12+13+1+8=34 になっている。ついでに、“斜め”も拡大し、1 行 2 列目の「2」から、右下に斜めに下っていくと、2、3、15と拾い、Uターンして最後に 14 を拾うと、2+3+15+14=34。今度は「2」から左斜め下に進むと、2、12 と拾ってからUターンして 5、15 の合計 4 つを斜めの数として拾うと、2+12+5+15=34 になる。こういう魔方陣は、完全魔方陣というそうだ。
(2)の魔方陣は使いやすく、行と列の異なる覚えやすい4つの数、13、14、15、16 に任意の数を足しても引いても、魔方陣になっている。ただし、完全魔方陣ではなくなるが、デューラー魔方陣と同じ性質は保たれる。例として、36 を足してみよう。そうすると、
7 2 52 9
12 49 3 6
1 8 10 51 ・・・(3)
50 11 5 4
となる。縦、横、斜めはそれぞれ足すと、70 になるデューラー魔方陣の誕生だ。四隅の2×2 の正方形と、中央の 2×2 の正方形の 4 つの数字の和も 70 になっている。
(2)の魔方陣をうまく使った手品を見たりする。手品の種は知らないが、数当てマジックで数を当てることが出来たとする。たとえば、その数が 70 だったとすると、手品師は、「思い浮かんだ数はこうだ」と言って(3)のように数字を配置する。どんな数でも、(2)の魔方陣で 13、14、15、16 のところに、適当な数を足せば、任意の数の魔方陣を作ることが出来る。今は 34 を足して 70 にしたが、95 にしたければ 13、14、15、16 のところに 61 を足しておけば良い。この中に選んだ数字はあるかと問いかけると無いので、手品師は答えを外したと思わせる。数字を選んだ客に当たらなかったと思わせてから、横に足してごらんというと、確かにどの行も 70 になり、客は数が当てられたと思うはずだ。おまけに、縦に足しても、斜めに足しても、4 隅に 4 つの数字を足しても、中央の 4 つの数字を足しても、常に 70 になるというわけだ。答えを外したと思わせてからのどんでん返しなので、驚きが増すのだろう。
118.正しく怖がる
寺田寅彦の随筆、「小爆発二件」に、“ものをこわがらな過ぎたり、こわがり過ぎたりするのはやさしいが、正当にこわがることはなかなかむつかしいことだと思われた”とある。
最近の新型コロナウイルスの流行では、報道を見聞きしていても、脱法行為と失政の両方を隠したい人たちと共に恐怖をあおって、データに基づいて説明してくれないのでストレスがたまる。
ウェブで色々な人が色々書いているので、そこから数値を拝借しよう。1次データでは無いからどこまで精確かは判らないので、いちいち引用先は記さないでおく。一つだけ、https://www.worldometers.info/coronavirus/。
比較すべきは毎年流行する季節性インフルエンザだ。A型インフルエンザは世界的感染流行、いわゆるパンデミックを起こしうる。B型はパンデミックを起こすほどの感染力はない。C型の流行は稀だ。A型で見ておこう。潜伏期間は1,2日で、症状が出ているときにウイルスを撒いてしまう。接触感染、飛沫感染、空気感染を起こす。排泄物からも感染するそうだ。日本では、毎年1000万人規模で感染を起こし、1万人程度の方がインフルエンザで亡くなっている。致死率はおよそ0.1%。高齢者は主に肺炎を誘発し、小児は肺炎か脳症を起こし、亡くなることが多いようだ。
毎年、インフルエンザ関連で1万人も亡くなっているとは知らなかった。
新型コロナウイルスによるインフルエンザのデータはまだ多く分析されていないようだが、3月13日現在、世界で感染者は13万4681人、亡くなった方は4973人、致死率は3.7%といったところだ。すでに回復した人は6万9142人。感染者の半数以上はすでに回復している。
致死率についてはよく見ないとわからないことがある。
中国での感染者7万2314人を分析したデータを見つけた。無症状の人が1.2%で、経過としては回復している。軽症が80.9%で、この人たちも回復している。重症が13.8%で、やはり経過は回復となっている。超重症者は4.7%おり、2~3%の方が亡くなっている。致死率は2~3%。現在3月13日現在、中国では累計8万797人の感染者数なので、多くのデータの分析と考えてよかろう。ただし、中国は重症者の検査を優先したので、感染者はもっと多くて致死率はもう少し低いかもしれない。3月13日現在、亡くなった方は3170人なので、致死率は3.9%と高めにでている。
積極的な検査をすすめた韓国では、3月13日時点で、感染者は7979人、亡くなった方は67人なので、致死率は0.84%と低い。感染者を多く見つけたら、(致死率)=(死亡者)/(感染者)なので、分母が大きくなり、必然的に致死率が下がる。
日本はクルーズ船の対応で批判された。続いてクルーズ船で感染者が出た国では、乗客を早く下船させている。日本での感染者数は3月13日時点で1387人、亡くなった方は26人なので、致死率は1.9%。しかし、クルーズ船で感染した696人中の約半数、325人はすでに回復済みだ。それ以外の日本国内では691人の感染者中、118人が回復している。国内のみでは亡くなった方は19人なので、致死率は2.7%と上がってしまう。韓国と違って検査数が少ないので、分母が小さく、致死率が大きく見えるのだろう。潜在的な感染者が把握できていないということだ。また、まだ回復数が少ないのは、感染の拡がりが中国より、またクルーズ船より遅かったからだろう。
(追記:2020年3月16日:イタリアやスペインでは感染者数、死亡者数とも増えており、3月16日時点で、イタリアでは(死者)/(感染者)=1809/24747 =7.3 %、スペインでは同じく、292/7845 = 3.7 %、フランスで127/5423 = 2.3 %、ドイツで13/5813 = 0.22%となっている。欧州人はマスクをしないとか、いろいろ言われているが、1000人あたりの病床数を見ておくと、イタリアで 3.2 床(2017年のデータ)、スペインで 3.1 床(2017年)、フランス 6.0 床(2017年)、ドイツ 8.0 床(2017年)とある。日本は 13.1 床(2017年)、韓国は 13 床(2018年)。何かヒントがあるかもしれない。)
2003年に流行したSARS(重症性呼吸器症候群)の致死率は9.6%、2012年の流行のMERS(中東呼吸器症候群)では35%というから、今の新型コロナウィルスよりかなり怖い。
3月6日までの中国のデータでは、4万4672人の感染者中、亡くなった方の割合は、0~9歳で0%、10~19歳で0.2%、20~29歳で0.2%、30~39歳で0.2%、40~49歳で0.4%、50~59歳で1.3%、60~69歳で3.6%、70~79歳で8.0%、80歳以上で8.0%だそうだ。若年層は明らかに少ない。
日本の状況を知りたいが、厚生労働省のホームページを見る限り、データが無い。まぁ、亡くなった方の数が少ないので、有意なデータにならないかもしれないが。
感染力は通常の季節性インフルエンザと同レベルらしい。単位がわからないが、感染力として1.5~2.5だそうだ。一人から移す人数なのだろうか。季節性インフルエンザの感染力は2~3、麻疹は感染力が強く、12~18。
また、今のところ、新型コロナウイルスの遺伝子は、中国発生のものと99.9%は同じだそうなので、まだ危険な遺伝子変異は起こしていないようだ。
有効な治療法が無いので怖い。しかしながら、せめてデータに基づいた情報と共に報道をしてもらいたい。侮るのは危険だが、データに基づいて「正当にこわが」りたい。
117.山口きらら
化学が苦手だ。
小学生の時、ヨウ素液をでんぷんに掛けると紫色になるとあり、ヨウ素液を掛けて紫になるかならないかで澱粉があるか無いかを見ていったが、そんなことより、デンプンがあるとなぜ紫色になるのかに興味があった。誰も教えてくれなかった。
中学だか高校だか、化学反応で、酸素は手が2本とか炭素は手が 4本 とかで、手を残さず手を取り合って化合物ができるように化学反応式を作ったが、手ぇって何や?
大学で物理を勉強してようやく解った。
大学では、1 回生の時に一応、物理化学だったか量子化学だったか、そんな名前の講義をとり、アトキンスだったか誰かの「物理化学」という教科書を上下巻買わされたが、結局シュレーディンガー方程式が出てくるのもいきなりすぎて良くわからず、あきらめてすぐに物理に走った。
そのとき、化学反応で「マルコニコフ則」というものを習った。しばらくすると「反マルコニコフ則」が出てきて、マルコニコフ則と化学反応で逆の生成物ができる。反マルコニコフ則、またの名を逆マルコニコフ則。マルコニコフ則があって逆マルコニコフ則がある。何でもありの世界なのか、あるいはどっちもあるのだからそういうのは法則とは呼べないと思い、その授業から離れた。ついでに、大学では化学から距離を置いて生活をさせてもらっていた。
しかし、物理を勉強していくにつれ、分野としての化学と繋がってきて、これは物理、これは化学と分けるのもなぁ、という感じになった。後年、大学で量子力学の講義を持った時には、原子中の電子配置から解る原子の手、共有結合とかを講義内容に含めて、量子化学っぽいことも話したりしていた。
本を読んでいたら、ひょんなところで化学反応式を目にした。
CaCO3 + CO2 + H2O → Ca(HCO3)2 ・・・(1)
炭酸カルシウム + 二酸化炭素 + 水 → 炭酸水素カルシウム
貝殻とかサンゴとか、生物の死骸から石灰岩ができる。石灰岩には炭酸カルシウムが豊富だ。海底だったところが隆起して陸地になったら石灰岩が採れるわけだ。石灰岩の多い土地に二酸化炭素を含んだ雨が降ると、雨水が石灰岩に浸み込んで、反応式(1)で、石灰岩中の炭酸カルシウムを炭酸水素カルシウムに変える。炭酸水素カルシウムは水に溶けるので、炭酸水素カルシウムを含んだ水が地中へ落ちていく。あちらこちらから浸み込んできた炭酸水素カルシウム入りの水が、石灰岩質でないところの地下に溜まり、地下水脈になる。地殻変動などで土地が隆起したりして、地下水脈の位置が変わると、さっきまであった水脈のところに水がなくなり空洞ができる。鍾乳洞の誕生だ。
その空洞に、さらに地表の雨が炭酸カルシウムを溶かして炭酸水素カルシウム入りの水となって滲み出してくる。地中では高かった圧力が、鍾乳洞の空洞内では圧力が下がり、圧力が低い方が水に溶け込める二酸化炭素の量が減るので、炭酸水素カルシウムを含んだ水から二酸化炭素が抜ける。こうして、(1)の逆反応、
Ca(HCO3)2 → CaCO3 + CO2 + H2O ・・・(2)
炭酸水素カルシウム → 炭酸カルシウム + 二酸化炭素 + 水
(2)の反応が起き、炭酸カルシウムが析出する。これが鍾乳石の一つになる。
鍾乳洞は空洞だからやがて崩落し、地表の土砂が流れこむ。そうすると、鍾乳洞のある山は、崩落したところが低くなるので、山並みがでこぼこになるはずだ。
息子が参加標準記録を切れたので、山口市で行われる「きららカップ」という水泳大会に参加できた。山口きらら浜のほとりに立派な水泳競技場がある。リオ五輪に出ていたオリンピアンも何人か来ていた。最近まで世界記録を持ってた人も。これ幸いと、親は応援という名の旅行に出かけ、オリンピアンの泳ぎもついでに見てきた。High Intelligence City からは車で行ったので、山口県に入ってしばらく進むと、山並みがでこぼこになっていった。それで、山口県には秋吉台に秋芳洞があるので、石灰岩質なんだろうと気付いた。結局、水泳会場とホテルの往復で観光が出来なかったので秋芳洞には行けなかったが、現地に行くと色々知らないこと、知っていても知識が繋がっていなかったことがピタリと嵌まってきて面白い。それで、思い出した話だ。
High Intelligenceな県にも、龍河洞という鍾乳洞がある。秋芳洞と共に、日本三大鍾乳洞と言われている。もう一つは岩手県の龍泉洞だそうだ。
116.インフルエンザ
High Intelligence な我が大学の我が学部では、年に 3 回、構成教員が持ち回りで講演を行う「研究談話会」を行っている。各回 3 人程度お話しを聞かせて貰える。地方大学で、学部がコンパクトなので、専門外の話が色々聞ける。前回は、数学の先生と、防災工学系の先生のお話が聞けた。
数学の先生は、長距離浸透モデルの話をされた。先生ご自身の研究の話はここでは置いておいて、導入でランダムウーク、日本語では酔っ払いが千鳥足でふらふら歩いている様子に擬して「酔歩」と言われている問題を紹介された。
上左図は 1 次元の場合で、白丸から始めて、左右に 2分の 1 の確率で次の格子点に動かしていき、これを続ける。上右図は 2 次元の場合で、白丸から始めて前後左右へ 4 分の 1 の確率で隣の格子点に動かしていき、これを続ける。1 次元と 2 次元の場合には、いつか必ず元の点に戻って来るそうだ。しかし、3 次元で格子点を組み、前後左右上下に 6 分の 1 の確率で動かしていくと、もう戻ってこない、非再帰的になるという。
今度は、例えば 2 次元格子で、格子点間の結合を一部切って、そちらには行けないようにしてみる。下図では、各格子点から 2 本結合を切ってみた。こうして、各格子点から 2 分の 1 の確率でランダムにウォークさせると、果たして長時間たったら無限遠方の格子点に行きつくかどうか、非再帰的かどうかという問題を作ることが出来る。
最後に先生がコメントしていたが、インフルエンザウィルスの伝搬のモデル化につなげられそうだ。自分の周りに 4 人いたとして、ウィルスが 2 人に伝搬するとして、そのウィルスが無限遠方まで伝搬、要するに酔歩の問題として非再帰的であれば、インフルエンザは蔓延するというわけだ。隣に 4 人は少ないので 6 人にしたければ 3 次元の格子点と結合をいくつか切った図を考え、酔歩させる。8 人にしたければ 4 次元格子を考えればよい。もっと感染させそうな人が近くにいる状況設定したければ、5 次元、6 次元・・・と、次元をあげて同じ問題を考えればよい。
話を聞いていて面白いなぁと興味を持ってしまった。
離散格子の問題にすると、やや現実的で面白いのだが難しそうなので、連続的な問題にしてみる。微分方程式系の問題としてモデル化できるそうなので、備忘しておこう。
まず、人に移し得る「感染者」の数を X とする。まだ罹っていないが感染する可能性のある「健常者」の数をYとする。感染したけど回復して免疫が出来てもう罹らない人を「治癒者」として Z とする。残念ながら亡くなった人の数も治癒者に入れておこう。時間を t として、微分方程式を立てる。健常者 Y が、感染により減っていく割合 dY/dt は、すでに感染している者が多ければ多いほど大きくなるであろうし、健常者の母数自身が大きくても大きいだろうから
dY/dt = -v XY ・・・(1)
となるだろう。健常者は感染により減っていくので右辺は負号がある。また、vは [ 1/ 人数・時間 ] という次元を持つ量で、単位時間、単位人数に感染させる「感染の速度」みたいなものだ。実際には v が大きいほど、短い時間で感染させて健常者数 Y が減っていくようになっている。次に、治癒者の数の変化の割合については、感染者に比例して大きくなるだろう。感染者が零になるとそもそも「治癒」しようがないし、感染者が多いほど治癒する人も多いはずだ。よって
dZ/dt = w X ・・・(2)
と置けそうだ。ここで w は感染から「治癒する速さ」みたいな量で、次元は [ 1/時間]。w が大きいほど、治癒者が速く増えることになる量だ。最後に感染者数の変化の割合だが、まずは治癒することで減っていく。これは(2)の右辺に符号をつけたものだ。一方、感染者数は、健常者を感染させることで増えていく。(1)の右辺の符号を変えたものだ。こうして
dX/dt = ― wX + vXY ・・・(3)
(1)(2)(3)を全部足すと、右辺は消えるので
d (X + Y + Z ) /dt = 0
が得られ、感染者、健常者、治癒者の総数は変化しないことを意味している。総数を Nと書こう。
N = X + Y + Z 、 dN/dt =0
要するに、閉じた集落や島を考え、流入、流出はないとしたというわけだ。流出入まで考慮したら連立微分方程式はもっと複雑になるだろう。ここでは、考えないでおこう。
(1)と(3)の“比”をとると、
dX/dY = (― wX + vXY) / (― vXY ) = ―1 + ( w / v ) / Y
= -1 + r / Y ・・・(4)
となる。ここで、r = w / v と書いた。r の次元は [ 人数 ] だ。 微分の“比をとる”なんて、こういう計算は数学屋さんは眼を剥くが、物理屋は割と平気だ。いや、私だけか・・・。
(4)から直ちにわかることがある。 r / Y < 1、すなわち r < Y と、健常者数が、感染速度と治癒速度の比 r より大きい時は
dX/dY < 0
なので、健常者数 Y が減る( dY < 0 ) と、感染者 X が増える( dX > 0 )ということだ。インフルエンザは拡がっていく。やがて、健常者数 Y が減ってきて r = Y となると
dX/dY = 0
なので、感染者数 X が最大値をとる。それを過ぎると r > Y と健常者数が減り、このとき
dX/dY > 0
となるので、健常者数 Y が減っても( dY < 0 ) 、感染者数 X も減る( dX < 0 )。要するに治癒者が増えるはずなので、インフルエンザの流行は収束するというわけだ。感染者数が減るということは、やがて X=0 となる。その時の時間を t∞ としておき、X∞ = 0 と書いておく。
(4)は積分できる。
∫dX = ∫(―1 + r / Y ) dY
積分して
X = -Y + r ln Y + C (積分定数) ・・・(5)
時刻 t=0 で、感染者は X(t=0) = X0、健常者は Y(t=0)=Y0 とすると、積分定数 C は
C = X0 + Y0 -r ln Y0
となるが、時刻 t=0 ではまだ誰も治癒していないので、治癒者は Z(t=0)=Z0 = 0 なので、総数 N は変わらないことから
N = X0 + Y0 + Z0 = X0 + Y0
であり、(5)は
X(t) = -Y(t) + r ln Y(t) + N-r ln Y0
= N -Y(t) + r ln ( Y(t) / Y0 ) ・・・(6)
と得られる。
さて、健常者数 Y が r に近いとして
Y0 = r + h
として、h << r とする。感染者は最初少ないとして、X0 ≒ 0 としておく。こうして
N = X0 + Y0 + Z0 ≒ Y0
となる。感染者数が零になる時刻 t∞ のときには X∞ = 0 なので、(6)は
0 = Y0 - Y∞ + r ln ( Y∞ / Y0 )
= Y0 - Y∞ + r ln ( 1-( 1-Y∞ / Y0 ))
= Y0 - Y∞ ― r ( ( 1-Y∞ / Y0 )―(1 / 2 ) ×( 1-Y∞ / Y0 )2 + ・・・)
≒ ( Y0 - Y∞ )×( 1 ― r / Y0 ―( r / 2 Y0 2 ) ×(Y0 -Y∞ ))
と近似できる。ここで Y∞ / Y0 ≒ 1 としている。こうして、上式の右辺の括弧の中が零にならないといけないので
Y0 - Y∞ = ( 2 Y02 / r)× ( 1-r / Y0 )
= 2 Y0 ( Y0 / r -1 )
= 2 ( r + h ) ( r + h - r ) / r
= 2 ( r + h ) h / r
となるが、h << r なので右辺の h2 を無視すると、結局
Y0 - Y∞ = 2 h
となる。こうして、健常者は最初 Y0 だったものが、感染者が居なくなる時間 t∞ での健常者は Y∞ なので、その間に感染した人の数は、最初の健常者数 Y0 から最後の健常者数Y∞ を引いて、 2 h となることが分かった。
さて、(1)と(2)の“比”をとると
dY/dZ = - (vXY) / (wX ) = -Y / r
となるので、積分すると
Y = Y0 e( ― Z / r ) ・・・(7)
と得られる。初めの時間 t=t0 では治癒者はまだ出ていないので Z0=0 だから、係数 Y0 が現れる。
(1)と(3)の“比”をとると
dX/dZ = (―wX + vXY ) / (wX)
= -1 +Y / r
= -1 + ( Y0 / r )× e( ― Z / r )
となる。ここで、(7)を使った。これも積分できて、(5)から(6)へ積分定数を決めた時と同様のことをすると
X = -Z ― Y0 e( ― Z / r ) + N ・・・(8)
(6)と(7)と(8)で、X(t)、Y(t)、Z(t) の関係は出たが、時間 t の関数としてあらわに解きたいが、力尽きた。
そこで、極めて大雑把に考えておこう。
(1)式から
dY / Y = ―vX dt
となるので、これを積分する。∫ dY / Y = ln Y + (積分定数)なので、
ln Y(t) = - v ∫0 t X(t) dt +(積分定数)
となる。時間 t=0 までの積分だと右辺の X(t) の積分は零になり、左辺は Y(t=0)=Y0 だったので、積分定数は ln Y0 だ。こうして、
ln Y(t) = - v ∫0 t X(t) dt +ln Y0
よって
Y(t) = Y0 exp( - v ∫0 t X(t) dt )
と得られる。ここで、exp(a) = e a と、指数関数のこと。これをすでに計算しておいた(6)式に代入することで
X(t) = N - Y0 exp( - v ∫0 t X(t) dt ) - r v ∫0 t X(t) dt ・・・(9)
のように、X(t) のみで時間 t の関数で閉じた形に書けた。しかし、解けてはいない。
インフルエンザが蔓延して「全員が罹ってしまう」パンデミック状態を考えてみよう。感染者数 X(t) の時間の推移は解けないので、荒っぽいことをしよう。今、有限の時間で、すべての人、N 人が罹患したとする。最後の感染者が出た時刻以降には、すべての「感染者」はいずれ「治癒者」になるので、零になるはずだ。この瞬間をとらえると(9)の左辺は零になる。積分 ∫0 t X(t) dt が出来ないので、全員が有限の時間 τ で感染したとして、
∫0 t X(t) dt = Nτ
と、荒っぽく置いてみよう。また、初期の時刻 t = 0 では、種となる感染者は少なく、ほぼ全員「健常者」だとすると、Y0 ≒ N としてよかろう。そうすると、(9)式から、
0 = N- N exp( - v Nτ ) - r v Nτ
となる。r = w / v と書いたことを思い出すと、rv = w だから、ちょっと整理して
( 1― wτ ) N = N exp(- v Nτ)
となり、対数をとると
N = -( 1 / (vτ) ) × ln ( 1-wτ) ・・・(10)
となる。。感染のスピードみたいな v と、治癒するスピードみたいな w が与えられていて、閉ざされた世界の人数 N がわかっていた時に、上の式を成り立たせるような有限の τ があれば、すべての人が感染してしまうということだ。でも、この荒っぽすぎる議論では、右辺の対数の中身、1-wτ が零になれば対数はマイナスで無限大になるので、τ = 1/w の時間で必ず無限大になるので、必ず 1/w までのどこかの時間で N と等しくなり、完全に蔓延してしまうことになる。しかし、もし、かなり大きな τ でなければ条件を満たさないのであれば、実質 τ→∞ とみなせて、感染は蔓延しないということになろう。季節が変わって、v とか w とかの時間依存性まで考慮しないといけないとか。
でも、もうちょっと、丁寧に解析しないとなぁ。蔓延するかしないかの臨界点となる r ( = w / v ) を見つけたかったのだが・・・。
115.国民の祝日
国民の祝日の多くが皇室関連であるということを、最近の若者はあまり知らないようなので、備忘しておこう。
1 月 1 日は「元日」。これは天皇陛下の四方拝が行われ、歳旦祭という儀式が行われる日だ。
2 月 11 日は「建国記念の日」。神武天皇が即位したという日を太陽暦に換算したということになっているが、定かではない。それが証拠に、皇室祭祀は行われていないようだ。戦前は紀元節。
2 月 23 日は「天皇誕生日」。今上陛下の誕生日だ。天長祭が行われる。
3 月 20 日ころに、「春分の日」。この日に春季皇霊祭が皇室では行われる。春分だから休日なのではなく、皇室祭祀があるからだ。その証拠に、夏至や冬至は祝日になっていない。
4 月 29 日は「昭和の日」。言わずと知れた昭和天皇の誕生日だ。皇室祭祀はなさそうだ。昭和天皇が崩御された 1 月 7 日には昭和天皇祭を行っているようだ。
9 月 20 日ころに「秋分の日」。この日に皇室では秋季皇霊祭が行われる。
11 月 3 日は「文化の日」。文化をうたっているが、実は明治天皇の誕生日。明治天皇に関しても、皇室祭祀は明治天皇が崩御された 7 月 30 日に明治天皇例祭として行われている。
11 月 23 日は「勤労感謝の日」。この日は新嘗祭で、天皇陛下が神に収穫された穀物などを捧げ、神とともに食する。
以上が皇室絡みの祝日だ。このほかも見ておこう。
1 月に「成人の日」がある。以前は 1 月 15 日に固定されていたが、今は第 2 月曜日となっている。おそらく、江戸時代以前に大人になったとして行う元服の儀式が小正月、1 月 15 日に行うことが多かったということからこの日になったのだろうが、元服の日はそもそも決まっていなかったので、まぁ、こじつけか。
5 月には、まず、3日 が「憲法記念日」。日本国憲法が施行された日だ。4 日は「みどりの日」。もとは 4 月 29 日の昭和天皇の誕生日を、崩御された後にも祝日として残すために「みどりの日」としていたものを、4 月 29 日を「昭和の日」としたので、ここに移動させたもの。5 日は「こどもの日」。これは端午の節句だ。
7 月第 3 月曜は「海の日」。8 月 11 日は「山の日」。あまり根拠がわからない。
9 月第 3 月曜日は「敬老の日」。もとは 9 月 15 日だった。皇室祭祀との関連はない。
10 月第 2 月曜日は「体育の日」。今後はスポーツの日と呼ぶそうだ。もとは 10 月 10 日、1964 年の東京オリンピックの開会式の日を定めている。
こうしてみると、国民の祝日の半数は皇室絡みということだ。
それと、確実な日を記念する「元日」「天皇誕生日」「憲法記念日」のみ、「の」の文字がない。この 3 日は、確実に日付が特定できるからだ。春分、秋分も決まるが、年により日がずれるので「の」が入っているのだろう。「建国記念の日」に「の」が入っているのは、神武天皇即位の日が、神話の世界であり、日付けが特定できないためだ。
114.車輪が乗り越える高さ
今から 5500 年ほど前、紀元前 3500 年ころ、メソポタミアでは、器を作るために、“ろくろ”が発明されていたそうだ。円盤状の“ろくろ”は、くるくる回転する。
一方同じころ、メソポタミアでは物を運ぶために、そりを用いていたそうだ。ただ、雪の積もる地域ではないので、そりを引いて物を運ぶのは大変だっただろう。
ろくろとそりを合体させて、「車輪」が発明されたのも同じころのようだ。メソポタミアの都市、ウルクで、紀元前 3200 年頃の絵文字に、車輪のついたそりが描かれているらしい。
それで、こんなことを思った。どれくらいの力で、車輪は障害物を乗り越えられるのだろうか。
図のように、半径 a で、質量 m の一様な薄い円柱があって、高さ h の障害物に遮られて右向きに転がれない状況を考えてみる。そこで、中心軸を通るように平行に力 F を加え、障害物を乗り越えたい。どれくらいの力を必要とするだろう。純粋に力学の問題だ。
第 38 回で力のモーメントについて記した。今、図のように A 点を中心にして車輪は回転して障害物を乗り越えようとするので、A 点のまわりの力のモーメントを考えることになる。第 38 回では力の向きと、回転中心から力の作用点までの向きは直交していたので、力のモーメントは、(力)×(回転中心から力の作用点までの距離(腕の長さ))で求めて、シーソーの問題を考えた。でも、今の場合、力 F も、円柱に働く重力W も、A 点から力の作用点までの方向と、力の方向が異なる。こういった場合は、力の方向に引いた直線と A 点までの垂直距離、力 F の力のモーメントの場合だと、図で a-h を力 F に掛けることで力のモーメントが求められることになる。円柱を右回りに転がそうという力のモーメント NF は
NF = F × ( a - h ) ・・・(1)
となる。左回りは重力、W = m g による力のモーメントだ。ここで、g = 9.8 m / s2 は重力加速度。こうして、せっかく円柱が右回りに進んで障害物を乗り越えようとしているのに、それに逆らって円柱を左回りに転がそうとする力のモーメント NW は
NW = m g × √( a2 - ( a- h )2 ) ・・・(2)
となる。W 方向と A 点の垂直距離は三平方の定理を使って求めた。
正確には力のモーメントの大きさは、ベクトルの外積で定義されている。大きさとしては
(力)×(回転中心(今の場合は A 点)から力の作用点までの距離)
× sin (力の方向と、回転中心から力の作用点を結ぶ方向のなす角)
で定義されている。力 F による力のモーメントは、図から
NF = F a sin (π-θ) ・・・(3)
力 W の場合は
NW = W a sin (π/ 2 +θ) ・・・(4)
となる。三角関数の公式
sin (α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ
と、sinπ = 0、cosπ =-1、sin(π/ 2 ) = 1、con(π/ 2 ) = 0とから、(3)、(4)は
NF = F a sinθ ・・・(5)
NW = W a cosθ ・・・(6)
となる。ここで、サイン (sin) は直角三角形の(高さ)/ (斜辺)、コサイン (cos) は(底辺)/(斜辺)なので、図から
sinθ = (a-h) / a
cosθ = √ ( a2 - ( a- h )2 ) / a
とわかるので、これらを(5)、(6)に代入すると(1)、(2)にちゃんとなる。ただし W = mg。
さて、車輪が高さ h の障害物を乗り越えられる(乗り上げられる)かどうかだった。そのためには、重力で左回りに回転させようとしている力のモーメントに打ち勝って、右回りに転がらなければならない。要するに
NF > NW
が成り立つように、力 F を加える必要がある。(1)、(2)から、
F × ( a - h ) > mg × √ ( a2 - ( a- h )2 )
こうして、
F > mg × √( a2 - ( a- h )2 ) / ( a-h ) ・・・(7)
の力を加えなければならないというわけだ。
最終結果の(7)式を見てすぐにわかることは、右辺の分母に ( a―h ) が現れているので、障害物の高さ h が車輪の半径 a に近くなるにつれて加えるべき力 F が大きくなり、h = a ではとうとう無限大の力を加えなければならなくなるということだ。要するに、車輪の半径以上の高さの障害は乗り越え(乗り上げ)られない。
四肢を持った動物や、6 本足の昆虫の陸上での移動手段は、脚だ。人類は車輪を発明して運搬を容易にしたが、生物は脚の代わりに車輪状の「四肢または六肢」を進化させなかった。生物が生息する地表は平たんではないので、(7)から、自分の脚の「車輪半径」より高い段差は乗り越えられなくなるので、車輪状の脚に進化しなかったのだろうか。
もし、人が 2 足歩行ではなく「2 車輪移動」に進化していたとする。体重 M kg の人の場合、それぞれの「車輪脚」にかかる重さは半分ずつだろうから m = M /2 だ。もし、人が自分の体重に働く重力と同じ力で前方に移動しようとしていると、F = Mg の力を発揮しているということだ。このとき、乗り越えられる高さ h を計算しよう。(7)から
Mg > ( M / 2 ) g √ ( a2 - ( a- h )2 ) / ( a-h )
なので、Mg で割ってから 2 乗して整理していくと
h < ( 1-1 / √5 ) a ≒ a × 0.552786・・・
となる。「車輪脚」の半径の 55 %程度の高さしか乗り上げられない。「車輪脚」の直径が 1 メートルに進化していても、半径は 50 ㎝ なので、自分の体重にかかる重力と同じ力で進んでも、28 cm くらいしか乗り越えられないということだ。ちょっと生活しにくい。
物の運搬には車輪は重宝するが、人の移動手段としては人類進化で採択されなかったのだろう。
113.戦後民主制とプラトン「国家」
私が小中高校を過ごした時代は、敗戦から 30 年前後たった頃だった。戦後民主主義の理想・希望が残っており、何かあったら学校では選挙をしていた。今でも生徒会委員とか学級委員は選挙をして決めているのだろうが、体育委員も保健委員も遠足の何とか委員とかも、やたらと選挙で決めていた。帽子をひっくり返して投票用紙を回収し、名前が挙がった人たちの名前を黒板に書いて、票が入れば「正」の字の字画を足していく。正の字一つ完成したら 5 票入っているということだ。得票上位者がそのまま選ばれることが多かった。
大学に就職し、かなりの年月が経つが、学長をはじめとした大学執行部の「組織統治」機能、カタカナ英語で良く「ガバナンス」と言っているが、それを高めるということで、何年前だったかから、学部長を学長が指名することになっている。とはいえ、うちの大学では、学部から 2 名の候補者を推薦して、その内から学長が 1 名決めるという形をとっている。High Intelligence な我が学部では、2 名の推薦者を誰にするかを、構成教員で投票して決める。その際には得票上位者ではなく、過半数得票者を推薦するということで、選挙で過半数得票者がいなければ、徐々に上位者数名に絞っていき、過半数になるまで何度も再投票するという、手間はかかるが優れた方法をとっている。推薦にあたり、学部構成教員の過半数の支持があるということを前提とした考え方が採用されている。最近もそんな選挙があった。
それで思い出した。
日本の衆議院議員選挙では、以前は中選挙区制をとっていたので、一つの選挙区から複数人の代議士が選ばれていた。そうすることで、例えば2名選ばれる選挙区では、A さんが 40 % の得票、Bさんが 35 %、Cさんは 15 %、Dさんが 10 % の得票率の場合、AさんとBさんを国会に送ることが出来るので、多様な意見が反映される。今の例ではその選挙区の 75 %の有権者の望む形になる。しかし、小選挙区制では、当選者は一人となるので、Aさんだけが国会に行き、有権者の 60 % の票は、いわゆる死に票となり、有権者の半数以上の意向は反映されない。しかし、こうすることで、当選者が、選挙ごとにぶれやすい。今の例だと次の選挙でBさんがAさんの得票を上回る可能性が十分にあるので、AさんBさんの所属政党が異なれば政権交代が起こりやすいだろうという考え方だ。実際、長らく起きていなかった政権交代が起きた。
しかし、最近ではどうもこの制度がうまく機能していないようにみえる。もともと、すべての人が選挙に行くわけでは無いのが実情なので、今の例をもう一度用いて投票率が5 0 %だったとした場合、0.5×0.4 = 0.2、つまり有権者の 20 % の支持しか得ていない人のみが国会に送られることになる。結果的に有権者の 2 割程度の得票で議席が決まってしまうということだ。実際、有権者の 3 割程度の支持があれば政権与党になれるそうだ。一旦、政権与党になれば、有権者総数の 3 割の支持があれば政権は大安泰ということになってしまう。以前の政治家は、国民が皆、安心して暮らせるように腐心していたように思える。国民を分断しないように努めていたようだ。しかるに、例えば有権者の3 割の支持で政権を取れるのなら、その 3 割の人々にだけ恩恵が行くような政治をしていれば良いことになってしまう。公的行事に支持者を招待したり、お友達を優遇したり。政権を支持して政権側に回ったら美味しいことがあり、政権を批判する側に回ったら基本的人権の保障された国民としての恩恵すら享受できない、といったことが起こりうる。こうして、恩恵を被れない人たちは、恩恵の被れる側に「寝返る」か、あるいは何を言っても無駄と思って、あきらめて選挙にもいかなくなるのだろう。批判者が選挙に行かなくなれば、そもそも、少数の得票で代議士になれるのだから、批判される側の現職は、ますます選挙で有利になるわけだ。
おそらく、小選挙区制を導入したころには、こういう事態が起きる可能性は想定していなかったのだろう。すべての国民の生活を守り、豊かにするのが政治家だという、政治家自身に使命と品位があったので、性善説に立っていたものと思われる。しかるに、国民を、自分にとっての支持者・不支持者、いや味方と敵に分けて、味方に手厚く、敵には辛らつに、という政治家が多くなっているのではなかろうか。3 割の支持で良いのだから、多くの人々の意見を聞いて支持を増やし、国民皆が幸せに暮らせる社会を目指そうなんて思う必要はないというわけだ。選挙に通りさえすればよい。ある意味、わかりやすい。
周囲の特定の「味方」の支持さえあればよいので、代議士といえども、広く勉強しなくても良くなったようでもある。日本国憲法第 99 条には「天皇又は摂政及び国務大臣、国会議員、裁判官その他の公務員は、この憲法を尊重し擁護する義務を負ふ。」とある。大学教員になった頃は、大学教員の身分はまだ国家公務員だったので、採用辞令をもらうときに、日本国憲法を遵守することの宣誓があったように記憶する。憲法の下では、内閣総理大臣は国務大臣中の国務大臣なので、軽々に憲法について語ることは難しい。また、大学に関して言えば、学問の自由のことも理解していない代議士もいるように報道で見聞きする。憲法 23 条には「学問の自由は、これを保証する。」とある。あっさりしているが、憲法学者によると、「研究・発表して教授する自由」のことである。学問の自由を補強する制度的保障として、「大学の自治」が位置付けられている。教育基本法第 7 条 2 項に「大学については、自主性、自律性その他の大学における教育及び研究の特性が尊重されなければならない。」とある。わざわざ「大学については」と述べているわけだ。その意味でも、大学と高校以下では異なっている。また、高校までは文部科学省の検定済み教科書が用いられて教育が行われているが、大学にはそのような制度はない。高校生までと異なり、多くが1年生時に 19 歳以上となる学生には学問的批判能力が、一定程度備わっていることが期待されているからだ。
社会の風潮として、学問的な批判能力のみならず、批判精神そのものが薄れているのではないだろうか。大学生のことではない。いい年をした大人たちも、どうでもよい問題にはネット上で大騒ぎするものの、あれは批判でもなんでもなく、声の大きな側に加担して、自分も正義を振りかざしているつもりなのだろう。弱い者いじめと同じ構図だ。批判ではなく、揚げ足取りの非難、誹謗中傷に過ぎない言説を、あたかも自分が正しいと勘違いして他者を攻撃する。
今の時代、高校生くらいになると生徒の多くがスマートフォンを持っているが、学校には持ってこさせないという所が多いと聞く。もちろん、許可があれば持っていけるのかもしれないが、規則に反して使用すると取り上げられるようだ。その日 1 日なら、「教育上の懲戒」の範囲内であるが、2 度、3 度繰り返すと、1 週間とか長いと 1 か月、スマホを取り上げて学校で預かるところもあるやに聞く。大学生と違って、高校生にはまだそこまでの批判能力はないので仕方ないのだろうが、現場の教師にはそのことが何を意味しているのか、自分たちで考えたことはあるのだろうか。遵守するように宣誓させられた「日本国憲法」29 条第 1 項には、「財産権は、これを侵してはならない。」とある。もちろん、同条第 2 項で「財産権の内容は、公共の福祉に適合するように、法律でこれを定める。」とあるので、有罪判決を受けて拘留されている受刑者の財産権などは制限されるのだろう。また、同条第 3 項で「私有財産は、正当な補償の下に、これを公共のために用ひることができる。」とあり、道路拡張なんかで土地財産を行政に提供せざるを得なくなることはある。しかし、そうでない場合には、私有財産は、第1項で、つまり憲法で守られている。国民の財産は、国家や他人に不当に干渉され侵害されることはない。仮に 1 か月もスマホを取り上げられるのであれば、懲戒権を逸脱して財産権に干渉しているとしか思えないが、そのような校則を定めている学校は、法的にはどのような理論武装をしているのだろうか。訴えられた場合に裁判に耐えられると考えているのだろうから。おそらく多くの家庭で、子供のスマホは親がお金を出しているのだろう。保護者の財産権を侵害することにもなる。
いつの頃からか、上司や自分より権能を持つ者に対しては批判することは良くないような雰囲気になっている。批判精神の無くなったマスコミの責任も大だ。権力を有する上位者の行動などに対して批判することは、あたかも越権行為であるように感じているのだろうか。上の者に従順な人が世の中に多くなれば、教師も政治家も楽だ。少々おかしなことを行っても、誰も何も言ってこないのだから。私も教師側なので、ある意味恩恵を被っているのかもしれない。批判は強者にこそ向けられるべきだ。
ギリシャ時代のプラトンの「国家」にまで遡ることはないのだろうが、すぐに忘れてしまうので備忘しておこう、いや、理解が間違っているのかもしれないが。理想的な哲人が治める「王政(優秀者支配制)」は、やがて階層内部あるいは階層間での争いが始まり、軍人達が支配する「貴族政(名誉支配制)」に移行する。しかし国や同志のために戦う階層であるため、お金を儲ける経済活動からやや離れている。そこで、やがては富を蓄えた者たちが発言力など力をつけてきて、政治に参画するようになる。金持ちが支配する「寡頭政」だ。この者たちはできるだけ多くの富を所有しようとするので、人々に浪費させ、財産を奪い、金を貸し、さらに富もうとする。被支配階級は貧困に追い込まれ、内乱などを経て、やがて国政に参画するようになり、「民主政」へ移行する。しかし、いずれ衆愚に陥り、衆愚政を経て、愚かになった民衆の支持を得て独裁的権力を振るう僭主が現れ、「僭主独裁制」へ移行する。