９７．ライプニッツの積分法

　ニュートンとは独立に、微積分法はライプニッツによっても発見されている。ニュートンによる積分法を説明したのに、ライプニッツに触れないのは片手落ちの様な気がするので、ライプニッツによる求積（積分）法を記しておこう。

　ライプニッツは、ある曲線の下の（ x 軸と囲まれた）面積を、“等しい長さ（横幅）の縦座標の総和”とみなした。これが積分だ。逆に、“縦座標と横座標それぞれの値の差が小さくなっていくときに、それらの比によって、曲線の接線が決まる”ことに気づいた。これが微分だ。

　1675 年のノートによって、積分を見ておこう。

　　　　　　　　　 

　図で、曲線の下の OAB の面積は、縦座標 y の総和と見なした。“すべて”というラテン語の形容詞、omnis の属格、“すべての”に対応するomnium から、y の総和を

　　　　omn. y 　（ OAB の面積）　　　・・・（１）

と書いた。

　一方、OBC は、面積 xw の長方形の総和だ。ここで、w は、横座標 x が幅 1 隣に進んだ時の y の増分だ。x+1 と x での y の差のこと。そこで、OBC の面積は、

　　　　omn.xw 　　（ OBC の面積）　　　・・・（２）

と書ける。また、OA の長さを、ult.x と書き、OC の長さは w の総和、omn.w なので、長方形 OABC の面積は

　　　　ult.x , omn.w　　（長方形OABCの面積）　　・・・（３）

と書く。ここで、コンマ（ , ）は、掛け算（×）の意味で使われている。こうして、（１）、（２）、（３）から、面積の関係として

　　　　ult.x , omn. w = omn.y + omn.xw

が得られる。ここで、右辺の y は、w の総和なので、

　　　　y = omn.w

と書けるので、これを代入すると

　　　　ult.x , omn.w = omn.omn.w + omn.xw

すなわち、

　　　　omn.xw = ult.x , omn.w －omn.omn.w 　　　・・・（４）

と書き直される。

　さて、まずは、

　　　　y = x

の曲線（直線）を考えよう。このときには、

　　　　y = omn.w = x

で、x が 1 単位進むと、y は 1 増えるので、w = 1 だ。したがって、（４）から、ult. x = xと書いて、

　　　　omn.x = x² －omn.x

が得られる。整理すると

　　　　omn.x = x² / 2

となる。要するに、y = x の曲線の下の面積は、x² / 2 であるということで、y = x を x について積分したことになっている。

　次いで、今度は、

　　　　w = x

としよう。（４）は

　　　　omn.x² = x × omn.x － omn.omn.x

となるが、omn.x = x² / 2 を先ほど求めたのでこれを代入すると

　　　　omn. x² = x³ / 2 － omn.x² / 2

となり、整理して、

　　　　omn.x² = x³ / 3

が得られる。y = x² の曲線の下の面積が x³ / 3 というわけで、y= x² を x について積分したことになっている。

　次は w = x² といった具合にこの操作を繰り返していくことで、結局

　　　　omn.x ⁿ = xⁿ⁺¹ / (n+1)

が得られる。y= x ⁿ を x について積分したものは、 xⁿ⁺¹ / (n+1) となるということ。

　ライプニッツによる積分法の発見だ。

　ライプニッツが最初に使った記号、omn.は、ラテン語で総和を意味する summa omnium から来ている。omnium は先ほど記した、「すべての」の意味であり、summa は「和」のことだ。英語に入って、sum になる。ライプニッツは、最初用いていたomn. の代わりに、summa の頭文字の s を引き延ばして長くしたものを、新たに積分の記号にした。∫ だ。曲線 y ( = y(x) )の下の面積を、∫ y と書き、さらに後になって ∫ y dx と書くようになった。現在の記法だ。

　微分は、“逆求積”であり、

　　　　∫ ℓ = ya としたときに ℓ を求める

演算とした。右辺は“面積”ということで、2つの変数の積でわざわざ書いている。ライプニッツは、積分も微分も“演算”としてとらえていて記法を生み出した。一方ニュートンは、積分は、x' = f (t) を x について解く“問題”と捉えていたようだ。

　ちなみに、ライプニッツが最初に使ったラテン語の omnis であるが、「すべての」という属格が omnium であり、「すべてのために」という与格が、omnibus （オムニバス）だ。そこで、「すべての人のため」にあった乗合馬車のことが omnibus と呼ばれ、その後、馬車から自動車になり、やがて、omnibus が略されて bus になった。

　通りを走っているバスって、ラテン語の変化する語尾じゃないか。

　さらに、複数の独立した作品を一つに纏めた映画なんかを、オムニバス作品と呼ぶようになり、現在、大学で一つの講義を複数教員が行う授業形態を、オムニバスと呼んでいる。

　オムニバス授業の準備をそろそろせねば・・・。