１２７．統計は、難しい

　高等学校では、2次元平面内のベクトルを習うはずだ。ベクトルとは大きさと向きを持つ量。

　図のように、2つのベクトルVとWがあったとしよう。図では、ベクトルには英字の上に矢印をつけている。X 軸、y 軸の代わりに、p と q と書いているが、矢印のベクトルを、ｐと q 方向に分解すると

　　　　V= ( V_p , V_q )　，　W = ( W_p , W_q )

と、“成分表示”できる。2つのベクトルを“足して”、新たなベクトルを作るのは、それぞれのベクトルの成分同士を足して、新たなベクトルを作ればよい。

　　　　　V  + W = ( V_p + W_p ,  V_q + W_q )

図でわかる通り、2つのベクトルからつくられる平行四辺形の対角線にあたる部分が、新たに足し算で作られたベクトルだ。

　　　　　

　さて。

　ある疾患に製薬会社 A が作る薬 A か、製薬会社 B が作る薬 B を投与し、効き目を測定した。集団１に薬 A を投与したところ、８％ の患者に良い傾向が見られた。ところが、集団２に薬 B を投与したところ、11% の患者に良い傾向が見られた。

　そこで、製薬会社 A は負けじと治験を繰り返し、集団３に薬 A を投与したところ、16% の患者に良い傾向が見られたので満足した。ところが、対抗して、製薬会社 B は、集団 4 に薬 B を投与した治験を繰り返したところ、今度も A の 16% を超える 20％ の患者に良い傾向が見られた。

　こうなると、製薬会社 B が作る薬 B を投与するのが良さそうだ。

　データを見ておこう。ここで、

　　　　（良くなった割合）＝（良くなった患者数）/ （薬を投与した患者数）

である。被験者の数も書いておこう。

	A社の作る薬Aを投与	B社の作る薬Bを投与
1回目	集団１　：８％＝40/500	集団２　：11％＝220/2000
2回目	集団３　：16％＝240/1500	集団４　：20％＝40/200

A 社の作る薬 A を集団 1 に投与した人が 500 人で、そのうち 40 人に良い傾向が見られたので、40 / 500 = 8% という意味で書いている。

　1 回目を比べても、 2 回目を比べても B 社の方が成績が良い。B 社の薬 B を使うべきだ。

　しかし。

　全体で見てみよう。

　A 社の作る薬を投与された数は、1 回目、2 回目、併せて500 + 1500 =2000人。良くなった数は、40 + 240 = 280人。よって、良くなった患者の割合は、

　　　　A社：　280 / 2000 = 14 %

一方、B 社では、薬 B を投与された数は、1 回目、2 回目、併せて 2000 + 200 =2200人。良くなった数は、220 + 40 = 260人。よって、良くなった患者の割合は、

　　　　B社：　260 / 2200 = 11.82 %

あれ、A 社の薬 A の方が、よく効くじゃないか。

　ちょっと、ベクトルで見ておこう。

　被験者の数を p、良くなった患者数をｑとしておくと、良くなった人の割合は

　　　　q / p

だ。そこで、ベクトル P = ( q , p ) を導入しよう。こうしておくと、ベクトル P が p 軸となす“傾き” q / p が良くなった人の割合なので、ベクトルが q 軸に沿うようになっている方が、良くなった人の割合が高いということ。

　差が見えるように、ベクトル図は少し誇張して書いておいた。縦軸と横軸のスケールも異なって書いている。

　　　　　　

1 回目の A 社の集団 1 では

　　　　α = ( 40 , 500 )　= ( α_p ，α_q )

1 回目の B 社の集団２では

　　　　β = ( 220 , 2000 ) = ( β_p ，β_q )

２回目の A 社の集団３では

　　　　A = ( 240 , 1500 )  = ( A_p ，A_q )

２回目の B 社の集団４では

　　　　B = ( 40 , 200 ) = ( B_p ，B_q )

被験者全体で比較するには、A 社では

　　　　α + A = ( 40 , 500 )+( 240 , 1500 )=

　　　　　　　= ( 280 ,  2000 ) 

　　　　　　　= ( α_p + A_p，α_q +A_q )

一方、B 社では

　　　　β + B = ( 220 , 2000 )+( 40 , 200 )=

　　　　　　　= ( 260 ,  2200 ) 

　　　　　　　= ( β_p + B_p，β_q +B_q )

　図から解る通り、ベクトル α とベクトル β では、β の方が傾きが急なので、良くなった人の割合 ( = q / p ) はベクトル β で表される方が高い。同様に、ベクトル A とベクトル B では、B の方が傾きが急なので、良くなった人の割合は B で表される方が高い。

　ところが、α + A とβ + B を比べると、α + A の方が傾きが急なので、A 社の方が良くなった人の割合が高いということを意味している。

　まとめれば、

　　　α_q / α_p  <  β_q / β_p　かつ　　　A_q / A_p  <  B_q / B_p　

　であっても、

　　　 ( α_q + A_q ) / ( α_p + A_p )  <  ( β_q + B_q ) / ( β_p + B_p ) は必ずしも成り立たない　

という、分数の基本が現れている。

　統計は、難しい。